92
CHAPITRE XII.
Mais, d’après ce que nous venons de voir, les deux systèmes
d’équations sont identiques, et le second ne diffère du premier
que parce que les lettres sont affectées d’indices.
Jusqu’ici il semble que la transformation que nous avons faite
n’ait rien changé à la forme de nos équations ; j’arrive enfin à ce
qui doit en mettre les avantages en évidence.
Voyons d’abord ce que deviennent les équations de nos solutions
périodiques de la première sorte avec nos nouvelles variables.
Grâce au choix de notre fonction auxiliaire
elles s’écriront
![{\displaystyle {\begin{aligned}\xi _{1}&=\eta _{1}=\xi _{1}'=\eta _{1}'=0,&\Lambda _{1}&=\mathrm {const.} ;&\Lambda _{1}'&=\mathrm {const.} \end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3351f14fe8a9351e4e555817fa0399a56b74bb19)
Enfin,
et
seront des fonctions données du temps, des deux
constantes
et
et de deux nouvelles constantes arbitraires.
Il peut y avoir quelque intérêt, bien que cela ne soit pas nécessaire
pour notre objet, de voir comment
et
dépendent de ces
deux constantes que j’appellerai
et
nous aurons
![{\displaystyle {\begin{aligned}\lambda _{1}&=\alpha +\varphi (t+\beta ,\,\Lambda _{1},\,\Lambda _{1}'),&\lambda _{1}'&=\alpha +\varphi '(t+\beta ,\,\Lambda _{1},\,\Lambda _{1}'),\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/68d37c0229f6f210396b9125b2be30cebd163c38)
et
étant deux fonctions de
qui, quand
augmente d’une certaine constante
dépendant de
et
augmentent
elles-mêmes d’une certaine constante
(la même pour
et pour
) qui dépend aussi de
et
La première de ces deux
constantes
est la période de la solution périodique envisagée et
la seconde
est l’angle dont tourne le système des trois corps
pendant la durée d’une période.
Je ne veux retenir de tout cela qu’une chose :
Si
et
sont nuls à l’origine des temps, la solution
est périodique de la première sorte et ces quatre variables
et
resteront toujours nulles.
Or, nous avons les équations différentielles
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d\xi _{1}}{dt}}&=\quad {\frac {d\mathrm {F} }{d\eta _{1}}},&{\frac {d\xi _{1}'}{dt}}&=\quad {\frac {d\mathrm {F} }{d\eta _{1}'}},\\{\frac {d\eta _{1}}{dt}}&=-\,{\frac {d\mathrm {F} }{d\xi _{1}}},&{\frac {d\eta _{1}'}{dt}}&=-\,{\frac {d\mathrm {F} }{d\xi _{1}'}}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/65603fb63a34257b3b6f49e7e14788113cec27d5)
Il faut donc que les quatre dérivées
![{\displaystyle {\frac {d\mathrm {F} }{d\xi _{1}}},\quad {\frac {d\mathrm {F} }{d\xi _{1}'}},\quad {\frac {d\mathrm {F} }{d\eta _{1}}},\quad {\frac {d\mathrm {F} }{d\eta _{1}'}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/16940c948aab9339094008b66af5cceaa190e331)