Page:Henri Poincaré - Les méthodes nouvelles de la mécanique céleste, Tome 2, 1893.djvu/105

91

APPLICATION AUX ORBITES.

Soit $\mathrm {F} _{1}''$ ce qu’on obtient en remplaçant dans $\mathrm {F} _{1}$ chaque variable ancienne par la variable nouvelle correspondante, c’est-à-dire $\Lambda$ par $\Lambda _{1},$ $\lambda$ par $\lambda _{1},$ $\xi$ par $\xi _{1},$ etc.

Soit

${\begin{aligned}\Lambda &=\Lambda _{1}+\mu \Lambda _{2}+\ldots ,\\\Lambda '&=\Lambda _{1}'+\mu \Lambda _{2}'+\ldots \end{aligned}}$

le développement de $\Lambda$ et de $\Lambda '$ suivant les puissances de $\mu .$ Il est clair que

$\mathrm {F} _{1}'=\mathrm {F} _{1}''+{\frac {d\mathrm {F} _{0}'}{d\Lambda _{1}}}\Lambda _{2}+{\frac {d\mathrm {F} _{0}'}{d\Lambda _{1}'}}\Lambda _{2}'.$

Calculons $\Lambda _{2}.$ On trouve aisément

$\Lambda =\mathrm {A} -\xi _{1}{\frac {d\mathrm {C} }{d\lambda }}-\xi _{1}'{\frac {d\mathrm {C} '}{d\lambda }}+\eta _{1}{\frac {d\mathrm {B} }{d\lambda }}+\eta _{1}'{\frac {d\mathrm {B} '}{d\lambda }}\cdot$

Donc, pour obtenir $\Lambda _{2},$ il faut dans l’expression

${\frac {\mathrm {A} -\Lambda _{1}}{\mu }}-\xi _{1}{\frac {d\mathrm {C} }{\mu \,d\lambda }}-\xi _{1}'{\frac {d\mathrm {C} '}{\mu \,d\lambda }}+\eta _{1}{\frac {d\mathrm {B} }{\mu \,d\lambda }}+\eta _{1}'{\frac {d\mathrm {B} '}{\mu \,d\lambda }},$

il faut, dis-je, faire $\mu =0$ et par conséquent $\lambda =\lambda _{1},$ $\lambda '=\lambda _{1}'.$ Donc $\Lambda _{2}$ (et il en est de même de $\Lambda _{2}'$) est une fonction périodique des $\lambda _{1},$ linéaire des $\xi _{1}$ et des $\eta _{1}$ et sa valeur moyenne (par rapport à $\lambda _{1}$ et $\lambda _{1}'$) ne dépend ni des $\xi _{1}$ ni des $\eta _{1}.$

Donc $\mathrm {F} '_{1}$ sera périodique en $\lambda _{1}$ et $\lambda _{1}'.$ Soit $\mathrm {R} '$ sa valeur moyenne, $\mathrm {R} ''$ celle de $\mathrm {F} _{1}''.$ On obtiendra $\mathrm {R} ''$ en remplaçant dans $\mathrm {R}$ chaque variable ancienne par la variable nouvelle correspondante, et $\mathrm {R} '$ ne différera de $\mathrm {R} ''$ que par une quantité indépendante des $\xi _{1}$ et des $\eta _{1}.$

Nous avons vu au Chapitre X quelle est l’importance des équations

${\begin{aligned}{\frac {d\xi }{dt}}&={\frac {d\mathrm {R} }{d\eta }},&{\frac {d\eta }{dt}}&=-{\frac {d\mathrm {R} }{d\xi }}\end{aligned}}$

pour l’étude des variations séculaires des éléments. Après le changement de variables que nous venons de faire, elles seraient remplacées par les suivantes

${\begin{aligned}{\frac {d\xi _{1}}{dt}}&={\frac {d\mathrm {R} ''}{d\eta _{1}}},&{\frac {d\eta _{1}}{dt}}&=-{\frac {d\mathrm {R} ''}{d\xi _{1}}}\cdot \end{aligned}}$