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CHAPITRE XIII.
Nous sommes donc conduits à nous occuper du cas où
est
incommensurable et envisager spécialement ceux des diviseurs
qui correspondent aux réduites successives de ![{\displaystyle n.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e59df02a9f67a5da3c220f1244c99a46cc4eb1c6)
Je dis d’abord que, quelle que soit la série des nombres
on peut trouver un nombre incommensurable
(aussi voisin que
l’on veut d’un nombre donné) et qui soit tel que la valeur absolue
des coefficients (4) ne soit pas limitée.
Soient, en effet,
![{\displaystyle {\frac {\alpha _{1}}{\beta _{1}}},\quad {\frac {\alpha _{2}}{\beta _{2}}},\quad \ldots ,{\frac {\alpha _{p}}{\beta _{p}}},\quad \ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/737c3516fcfc36bf2ee1f7fafc0d0b0c7e0146fe)
les réduites successives de ![{\displaystyle n.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e59df02a9f67a5da3c220f1244c99a46cc4eb1c6)
Soient
![{\displaystyle \lambda _{1},\quad \lambda _{2},\quad \ldots ,\quad \lambda _{p},\quad \ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c6a72568bdf33277538144c743e8a380066d983c)
une suite quelconque de nombres positifs indéfiniment croissants.
Je dis qu’on peut toujours choisir le nombre
de telle façon que
(5)
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Nous avons, en effet, d’après la définition des réduites,
![{\displaystyle {\begin{aligned}\alpha _{p+1}&=\alpha _{p-1}+\alpha _{p}a_{p+1},&\beta _{p+1}&=\beta _{p-1}+\beta _{p}a_{p+1},\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dde51dc5a46e0c9cc9aeaa28403c089bf8cde262)
étant un entier positif que nous pouvons choisir arbitrairement,
sans altérer en rien les
premières réduites.
On a, d’autre part,
![{\displaystyle |n\beta _{p}-\alpha _{p}|<{\frac {1}{\beta _{p-1}+\beta _{p}a_{p+1}}}\cdot }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7f95d9f12b61aa35cf2b487a8d1c34c224588e19)
Nous pouvons donc choisir l’entier
de telle façon que la
valeur absolue de
soit aussi petite que nous le voudrons,
et, par conséquent, de façon à satisfaire à l’inégalité (5), quels que
soient les nombres
et ![{\displaystyle \lambda _{p}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ed5f82d50106a3acd091d75572a2dea1251307a4)
Comme les nombres
sont assujettis seulement à être indéfiniment
croissants, nous pouvons choisir arbitrairement les
premiers
de ces nombres (quel que soit
), et par conséquent les
premières réduites ; le nombre
peut donc être aussi voisin que
l’on veut d’un nombre quelconque donné.
En revanche, on peut souvent trouver un nombre
tel que la