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DIVERGENCE DES SÉRIES DE M. LINDSTEDT.

série (3 bis) soit convergente ; supposons, en effet, que la série

${\textstyle \sum }\mathrm {B} _{m_{1}m_{2}}\cos(m_{1}w_{1}+m_{2}w_{2}+h)$

converge et, ce qui arrivera d’ordinaire, de telle façon que l’on ait, pour toutes les valeurs de $m_{1}$ et de $m_{2},$

(6)

$|\mathrm {B} _{m_{1}m_{2}}|<\mathrm {K} \alpha ^{|m_{1}|}\beta ^{|m_{2}|},$

$\mathrm {K}$ étant un nombre positif quelconque, et $\alpha$ et $\beta$ deux nombres positifs plus petits que 1.

Prenons $n={\sqrt {\frac {p}{q}}},$ $p$ et $q$ étant deux entiers premiers entre eux et tels que $pq$ ne soit pas carré parfait. Il vient alors

$\left|{\frac {1}{m_{1}n-m_{2}}}\right|-\left|{\frac {m_{1}n+m_{2}}{m_{1}^{2}n^{2}-m_{2}^{2}}}\right|=\left|{\frac {(m_{1}n+m_{2})q}{pm_{1}^{2}-qm_{2}^{2}}}\right|<q(|m_{1}|n+|m_{2}|),$

d’où

$\left|{\frac {\mathrm {B} _{m_{1}m_{2}}\sin(m_{1}w_{1}+m_{2}w_{2}+h)}{m_{1}n-m_{2}}}\right|<\mathrm {K} q(|m_{1}|n+|m_{2}|)\alpha ^{|m_{1}|}\beta ^{|m_{2}|},$

ce qui prouve que la série (3 bis) converge.

Mais on peut évidemment choisir les entiers $p$ et $q,$ de telle sorte que ${\sqrt {\frac {p}{q}}}=n$ soit aussi voisin que l’on veut d’un nombre quelconque donné.

Nous sommes donc conduits au résultat suivant, que j’énonce en l’étendant tout de suite au cas général.

Soient $\mathrm {K}$ un nombre positif quelconque, $\alpha _{1},$ $\alpha _{2},$ $\ldots ,\,\alpha _{n}$ des nombres positifs plus petits que 1.

Je suppose que l’on ait une inégalité analogue à (6), et que j’écrirai

$|\mathrm {B} |<\mathrm {K} \alpha _{1}^{|m_{1}|}\alpha _{2}^{|m_{2}|}\ldots \alpha _{n}^{|m_{n}|},$

c’est ce qui arrivera d’ordinaire.

Dans ce cas, on pourra choisir les nombres

$n_{1}^{0},\quad n_{2}^{0},\quad \ldots ,\quad n_{n}^{0},$

de telle sorte :

1^o Qu’ils soient aussi voisins que l’on veut de $n$ nombres donnés,