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DIVERGENCE DES SÉRIES DE M. LINDSTEDT.

les autres séries $\mathrm {F} _{2},$ $\mathrm {F} _{3},$ on trouvera de même des termes de ces divers ordres de grandeur.

Nous pourrons donc écrire en général

$\mathrm {F} _{i}=\mathrm {F} _{i,0}+\mathrm {F} _{i,1}+\mathrm {F} _{i,2}+\ldots +\mathrm {F} _{i,k}+\ldots ,$

$\mathrm {F} _{i,k}$ représentant ceux des termes des $\mathrm {F} _{i}$ qui peuvent être regardés comme du même ordre de grandeur que $\mu ^{k}.$ Ces termes sont en nombre fini. Cette manière de décomposer $\mathrm {F} _{i}$ comporte évidemment un assez grand degré d’arbitraire.

Soit maintenant $\mu '$ une quantité qui soit du même ordre de grandeur que $\mu$ et posons

$\mathrm {F} _{i,k}=\mu '^{k}\Phi _{i,k}$

Tous les termes de $\Phi _{i,k}$ seront finis et nous pourrons écrire

$\mathrm {F} ={\textstyle \sum }\,\mu ^{i}\mu '^{k}\Phi _{i,k}$

Grâce à cet artifice, $\mathrm {F}$ dépend maintenant de deux paramètres, et $\Phi _{i,k}$ ne contient qu’un nombre fini de termes. Comme les deux paramètres $\mu$ et $\mu '$ sont du même ordre de grandeur, nous ferons $\mu =\lambda \mu '$ et nous aurons

$\mathrm {F} ={\textstyle \sum }\,\mu '^{k}\Phi _{k}$

$\Phi _{k}$ ne contenant qu’un nombre fini de termes.

Cet artifice, que j’ai peut-être exposé un peu longuement, mais dont l’application peut se faire très rapidement, montre que dans la pratique on pourra toujours se supposer ramené au cas où chacune des fonctions $\mathrm {F} _{i}$ ne contient qu’un nombre fini de termes.

Discussion des séries (2).

148.La question de la convergence des séries (3) étant ainsi tranchée, il y a lieu de se demander si les séries (2) convergent.

Mais cette question se subdivise.

Les séries (2) dépendent, en effet, de $\mu$ et des constantes d’intégration $x_{i}^{0}.$ On peut donc se demander :

1^o Si les séries (2) convergent uniformément pour toutes les valeurs de $\mu$ et des $x_{i}^{0}.$ comprises dans un certain intervalle.

2^o Si les séries (2) convergent uniformément pour les valeurs