Page:Henri Poincaré - Les méthodes nouvelles de la mécanique céleste, Tome 2, 1893.djvu/114

100

CHAPITRE XIII.

suffisamment petites de $\mu$ quand on donne aux $x_{i}^{0}$ des valeurs convenablement choisies.

À la première question on doit répondre négativement.

En effet, supposons que les séries (2) convergent uniformément et écrivons-les sous la forme suivante

(7)

$\left\{{\begin{aligned}x_{i}&=x_{i}^{0}+\mu \varphi _{i}(w_{k},x_{k}^{0},\mu ),\\y_{i}&=w_{i}^{0}+\mu \psi _{i}(w_{k},x_{k}^{0},\mu ),\end{aligned}}\right.$

$\varphi _{i}$ et $\psi _{i}$ étant des fonctions développables suivant les puissances croissantes de $\mu ,$ et périodiques par rapport aux $w,$ dépendant d’ailleurs des $x_{i}^{0}$ d’une manière quelconque.

Résolvons les équations (7) par rapport aux $x_{i}^{0}$ et aux $w_{i}.$ On pourra tirer de ces équations les $x_{i}^{0}$ et les $w_{i}$ sous la forme de séries ordonnées suivant les puissances de $\mu$ et dont les coefficients dépendent des $x_{i}$ et des $y_{i}.$

Il est facile de s’en assurer ; on n’a, en effet, pour voir que le théorème du n^o 30 est applicable, qu’à remarquer que, pour $\mu =0,$ les équations se réduisent à

${\begin{aligned}x_{i}^{0}&=x_{i},&w_{i}&=y_{i}\end{aligned}}$

et que le déterminant fonctionnel des premiers membres est égal à 1. On n’a d’ailleurs qu’à appliquer la formule de Lagrange généralisée.

On trouve ainsi

(8)

$x_{i}^{0}=x_{i}+\mu \varphi _{i}'(y_{k},x_{k},\mu ),$

(9)

$w_{i}=y_{i}+\mu \psi _{i}'(y_{k},x_{k},\mu ),$

$\varphi _{i}'$ et $\psi _{i}'$ étant des fonctions développables suivant les puissances de $\mu ,$ uniformes par rapport aux $x$ et aux $y$ et périodiques par rapport aux $y.$

Les équations (8) définissent ainsi $n$ intégrales uniformes de nos équations différentielles.

D’un autre côté, nous avons posé

$w_{i}=n_{i}t+\varpi _{i},$

et les coefficients $n_{i}$ ainsi définis dépendent de $\mu$ et des $x_{i}^{0}\,;$ si ces quantités peuvent varier entre certaines limites, on pourra en dis-