135
CALCUL DIRECT DES SÉRIES.
ou (puisque nous ne devons pas considérer comme distincts les
termes en
et en
)
![{\displaystyle h=w_{i}'.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1e6f8af99862c968f617fb06fb4c0571e4504307)
Identifions donc en égalant dans les deux membres de (9) les
termes en
J’écris
pour abréger au lieu de
(et
au lieu
de
), puisque je suppose ici
et je continue à désigner
par
les coefficients de
dans les fonctions
etc. Seulement ici les équations (10) n’auront plus la
même forme, parce qu’il faut tenir compte des termes en
qui
entrent dans le second membre des équations (9). Nous aurons donc
(10 bis)
|
|
|
Pour que ces équations soient compatibles, il faut évidemment que
![{\displaystyle \mathrm {A} _{1}+\mathrm {B} _{2}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/15590e95881f3b8af6e28ceb2db9c08c488951ae)
et
(11)
|
|
|
La première condition doit être remplie d’elle-même, puisque
nous savons que le développement est possible. La seconde nous
donnera la valeur de
Ces conditions étant remplies, les équations (10 bis) ne sont
plus distinctes. Elles nous donneront
et
si nous connaissons
et
Je dis que
et
peuvent être choisis
arbitrairement. Je le prouverai par un raisonnement analogue à celui
du no 126. En effet, on ne change pas la forme des séries en ajoutant
à
aux
aux
et aux
des fonctions arbitraires
de
des
et des
divisibles par
Le nombre de ces
fonctions arbitraires est le même que celui des variables, c’est-à-dire
de 12 par exemple pour le Problème des trois Corps dans l’espace.
On peut donc s’en servir pour satisfaire à 12 conditions. Nous
pouvons, par exemple, nous en servir pour que les valeurs
moyennes de
ainsi que les coefficients de
et
dans les quatre fonctions
soient des fonctions arbitraires