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CALCUL DIRECT DES SÉRIES.
ou (puisque nous ne devons pas considérer comme distincts les
termes en 
et en 
)
Identifions donc en égalant dans les deux membres de (9) les
termes en 
J’écris pour abréger au lieu de 
(et 
au lieu
de 
), puisque je suppose ici 
et je continue à désigner
par 
les coefficients de 
dans les fonctions
etc. Seulement ici les équations (10) n’auront plus la
même forme, parce qu’il faut tenir compte des termes en 
qui
entrent dans le second membre des équations (9). Nous aurons donc
| (10 bis)
|
|
|
Pour que ces équations soient compatibles, il faut évidemment que
et
| (11)
|
|
|
La première condition doit être remplie d’elle-même, puisque
nous savons que le développement est possible. La seconde nous
donnera la valeur de 
Ces conditions étant remplies, les équations (10 bis) ne sont
plus distinctes. Elles nous donneront 
et 
si nous connaissons
et 
Je dis que et 
peuvent être choisis
arbitrairement. Je le prouverai par un raisonnement analogue à celui
du no 126. En effet, on ne change pas la forme des séries en ajoutant
à 
aux 
aux 
et aux 
des fonctions arbitraires
de 
des 
et des 
divisibles par 
Le nombre de ces
fonctions arbitraires est le même que celui des variables, c’est-à-dire
de 12 par exemple pour le Problème des trois Corps dans l’espace.
On peut donc s’en servir pour satisfaire à 12 conditions. Nous
pouvons, par exemple, nous en servir pour que les valeurs
moyennes de 
ainsi que les coefficients de 
et
dans les quatre fonctions 
soient des fonctions arbitraires
