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CHAPITRE XIV.

Il en résulte, si l’on se rappelle la signification des quantités $\mathrm {Z} _{p},$ etc., que les seconds membres des équations (6) seront développables suivant les puissances des quantités (12), de leurs dérivées par rapport aux $w$ et $w'$ et enfin des $n_{i}^{p}$ et des $n_{i}'^{p}.$

Je me propose de démontrer que toutes ces quantités, ainsi que les seconds membres des équations (6) et (7), sont développables suivant les puissances des $\sigma _{i}^{0}$ et des $\tau _{i}^{0}\,;$ pour cela je vais passer en revue la série des opérations par lesquelles nous avons, dans le numéro précédent, déduit ces quantités les unes des autres et je montrerai qu’aucune d’elles ne peut altérer cette propriété.

Ces opérations sont les suivantes :

1^o Substituer dans le second membre des équations (6), à la place des quantités (12), de leurs dérivées, des $n_{i}^{p}$ et des $n_{i}'^{p},$ leurs valeurs antérieurement calculées. Comme le second membre de (6) est développable suivant les puissances des quantités substituées et que ces quantités substituées (puisque nous raisonnons par récurrence et que nous supposons que les quantités déjà calculées jouissent de la propriété énoncée) sont elles-mêmes développables suivant les puissances des $\sigma _{i}^{0}$ et $\tau _{i}^{0},$ il est clair que le résultat de la substitution sera aussi développable suivant les puissances des $\sigma _{i}^{0}$ et des $\tau _{i}^{0}.$

2^o Prendre la valeur moyenne d’une fonction périodique connue soit par rapport aux $w$ seulement, soit par rapport aux $w$ et aux $w'.$

C’est ce qui arrive quand on déduit le second membre de (7) de celui de (6), ou bien encore lorsqu’on annule la valeur moyenne du second membre de l’équation (7, 2, 2), en égalant $n_{1}^{2}$ à la valeur moyenne de $\mathrm {A}$ (vide supra, vers la fin du numéro précédent).

Comme cette opération consiste à supprimer des termes dans le développement trigonométrique de la fonction considérée, il est clair qu’elle ne peut altérer la proposition énoncée.

3^o Différentier l’une des quantités (12) par rapport à $w$ ou à $w'.$

Soit, comme plus haut,

$\mathrm {A} \cos h\quad$ ou $\quad \mathrm {A} \sin h$

un terme du développement de la quantité que nous différentions.

La dérivée de ce terme par rapport à $w_{i}$ sera

$-\mathrm {A} m_{i}\sin h\quad$ ou $\quad \mathrm {A} m_{i}\cos h$