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CHAPITRE XIV.
Ou bien encore que si
![{\displaystyle \mathrm {A} \cos h\quad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cbe98b61351e08f00f6a37433c82dfd8d75521ef)
ou
![{\displaystyle \quad \mathrm {A} \sin h}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/84b4085e41cc2e885b48231df2e93237ad7a78d6)
est un terme du développement de
ou
et que
![{\displaystyle h={\textstyle \sum }\,m_{i}w_{i}+{\textstyle \sum }\,m_{i}'w_{i}',}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/30ccb16950729195d6c438f8a5953c5f81466ff8)
la somme algébrique des entiers
et
doit être nulle.
On en conclurait aisément que, si
![{\displaystyle \mathrm {A} \cos h\quad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cbe98b61351e08f00f6a37433c82dfd8d75521ef)
ou
![{\displaystyle \quad \mathrm {A} \sin h}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/84b4085e41cc2e885b48231df2e93237ad7a78d6)
est un terme de
ou
cette même somme algébrique doit être
égale à
j’ajoute que cette somme est nulle dans le développement de
![{\displaystyle {\begin{aligned}\sigma _{i}^{p}\cos w_{k}&+\tau _{i}^{p}\sin w_{k},\\\tau _{i}^{p}\cos w_{k}&-\sigma _{i}^{p}\sin w_{k}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9ed16322433672cddbf34df50f78da632c4f695c)
(et dans celui des mêmes expressions où
serait remplacé par
).
Des considérations de symétrie et un raisonnement analogue
nous conduiraient à d’autres propriétés.
Ainsi, tout étant symétrique par rapport au plan des
les
équations du mouvement ne changeront pas quand on changera
les signes de
de
et des
sans changer
et les
Alors supposons que, dans les développements (4), les valeurs
moyennes des
et des
que l’on peut choisir arbitrairement
soient nulles. Changeons maintenant
![{\displaystyle \lambda ,\quad \lambda ',\quad \tau _{i}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cbb462ac711d73e2a61c2bcce84009aa8345c8c8)
en
![{\displaystyle -\lambda ,\quad -\lambda ',\quad -\tau _{i}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/20f7be2ec17b6f93b55b54d2c2fc84c3cc54d0c3)
et, en même temps,
et
en
![{\displaystyle -w_{i}\quad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/008ffe9f6cf3de80cfd97846895df2c31343e736)
et
![{\displaystyle \quad -w_{i}'.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1f30f58dcab303dc02b28c299a503a1880e36894)
Les séries (4) conserveront la même forme, elles ne cesseront pas
de satisfaire aux équations du mouvement. Les valeurs moyennes
des
et
ne changeront pas ; celles des
et
resteront nulles.
Enfin l’expression (15) restera une différentielle exacte.
Il faut pour cela que les séries (4) n’aient pas changé. Donc les