qu’elle converge rapidement, parce que le millionième terme .est beaucoup plus petit que le 999 999e ; mais ils regarderont la seconde comme divergente, parce que le terme général peut croître au delà de toute limite.
Les astronomes, au contraire, regarderont la première série comme divergente, parce que les 1 000 premiers termes vont en croissant ; et la seconde comme convergente, parce que les 1000 premiers termes vont en décroissant et que cette décroissance est d’abord très rapide.
Les deux règles sont légitimes : la première, dans les recherches théoriques ; la seconde, dans les applications numériques. Toutes deux doivent régner, mais dans deux domaines séparés et dont il importe de bien connaître les frontières.
Les astronomes ne les connaissent pas toujours d’une façon bien précise, mais ils les franchissent rarement ; l’approximation dont ils se contentent les maintient d’ordinaire beaucoup en deçà ; d’ailleurs leur instinct les guide et, s’il les trompait, le contrôle de l’observation les avertirait promptement de leur erreur.
Je crois néanmoins qu’il y a lieu d’apporter dans cette question un peu plus de précision, et c’est ce que je vais essayer de faire, bien que par sa nature même elle ne s’y prête pas beaucoup. Je commence par dire, afin d’éviter toute confusion, que j’emploierai toujours désormais, sauf avis contraire, le mot convergence dans le sens des géomètres.
Séries analogues à celles de Stirling.
119.Le premier exemple qui a montré clairement la légitimité de certains développements divergents est l’exemple classique de la série de Stirling. Cauchy a montré que les termes de cette série vont d’abord en décroissant, puis en croissant, de sorte que la série diverge ; mais si l’on s’arrête au terme le plus petit, on représente la fonction eulérienne avec une approximation d’autant plus grande que l’argument est plus grand.
Depuis, des faits analogues très nombreux ont été mis en évidence, et j’ai moi-même étudié dans les Acta mathematica, Tome viii, une classe importante de séries qui jouissent des mêmes propriétés que celle de Stirling.
