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CALCUL DIRECT DES SÉRIES.

analogue à (20). Soit d’ailleurs $\varphi _{1}^{q}$ et $\varphi _{2}^{q}$ l’ensemble des termes de $\varphi _{1}$ et de $\varphi _{2}$ qui sont de degré $q$ par rapport aux $x_{i}'^{0}.$

Nous égalerons ensuite les termes de même degré dans les deux membres de (22).

En égalant d’abord les termes de degré 0, il vient simplement

(23)

$\left\{{\begin{aligned}\Delta ''{\big [}\sigma _{i}^{1.0}{\big ]}&=\varphi _{1}^{0}+2\mathrm {A} _{i}^{0}{\big [}\tau ^{1.0}{\big ]},\\\Delta ''{\big [}\tau _{i}^{1.0}{\big ]}&=\varphi _{2}^{0}-2\mathrm {A} _{i}^{0}{\big [}\sigma ^{1.0}{\big ]}.\end{aligned}}\right.$

$\varphi _{1}^{0}$ et $\varphi _{2}^{0}$ seront des constantes dépendant seulement de $\Lambda _{0}$ et $\Lambda _{0}'\,;$ et, en effet, en vertu du raisonnement du n^o 153, qui reste applicable sans modification, $\varphi _{1}$ et $\varphi _{2}$ sont développables suivant les puissances des $x_{i}'^{0}\cos w_{i}'$ et des $x_{i}'^{0}\sin w_{i}'.$ Les termes du degré 0 par rapport aux $x_{i}'^{0}$ ne dépendront donc ni des $x_{i}'^{0}$ ni des $w_{i}'.$

Il en résulte que ${\big [}\tau _{i}^{1.0}{\big ]}$ et ${\big [}\sigma _{i}^{1.0}{\big ]}$ sont aussi des constantes et que les premiers membres des équations (23) sont nuls. Ces équations (23) nous permettront alors de déterminer ${\big [}\sigma _{i}^{1.0}{\big ]}$ et ${\big [}\tau _{i}^{1.0}{\big ]}.$

Supposons maintenant que l’on ait déterminé

${\begin{array}{ccccc}{\big [}\sigma _{i}^{1.0}{\big ]},&{\big [}\sigma _{i}^{1.1}{\big ]},&{\big [}\sigma _{i}^{1.2}{\big ]},&\ldots ,&{\big [}\sigma _{i}^{1.q-1}{\big ]},\\{\big [}\tau _{i}^{1.0}{\big ]},&{\big [}\tau _{i}^{1.1}{\big ]},&{\big [}\tau _{i}^{1.2}{\big ]},&\ldots ,&{\big [}\tau _{i}^{1.q-1}{\big ]},\\{\text{»}}&n_{i}'^{2.0},&n_{i}'^{2.1},&\ldots ,&n_{i}'^{2.q-2},\end{array}}$

et que l’on se propose de déterminer

(21)

${\big [}\sigma _{i}^{1.q}{\big ]},\quad {\big [}\tau _{i}^{1.q}{\big ]},\quad n_{i}'^{2.q-1}.$

Égalons pour cela les termes de degré $q$ dans les deux membres des équations (22).

Il viendra, en mettant en évidence les termes dépendant des quantités inconnues (24),

(25)

$\left\{{\begin{aligned}\Delta ''{\big [}\sigma _{i}^{1.q}{\big ]}+n_{i}'^{1.0}{\big [}\tau _{i}^{1.q}{\big ]}&=\psi _{1}+n_{i}'^{2.q-1}x_{i}'^{0}\sin w_{i}',\\\Delta ''{\big [}\tau _{i}^{1.q}{\big ]}-n_{i}'^{1.0}{\big [}\sigma _{i}^{1.q}{\big ]}&=\psi _{2}-n_{i}'^{2.q-1}x_{i}'^{0}\cos w_{i}',\end{aligned}}\right.$

$\psi _{1}$ et $\psi _{2}$ étant des fonctions connues.

Ces équations sont analogues aux équations (9) ; on passe en effet des unes aux autres en changeant

${\big [}\sigma _{i}^{1}{\big ]},\quad {\big [}\tau _{i}^{1}{\big ]},\quad n_{k}'^{1},\quad n_{i}'^{2}$

en

${\big [}\sigma _{i}^{1.q}{\big ]},\quad {\big [}\tau _{i}^{1.q}{\big ]},\quad n_{k}'^{1.0},\quad n_{i}'^{2.q-1}$