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AUTRES PROCÉDÉS DE CALCUL DIRECT.
Supposons donc que l’on ait déterminé
![{\displaystyle {\begin{array}{rrrr}\xi _{i}^{1},&\xi _{i}^{2},&\ldots ,&\xi _{i}^{p-1};\\\eta _{i}^{1},&\eta _{i}^{2},&\ldots ,&\eta _{i}^{p-1};\\x_{i}^{1},&x_{i}^{2},&\ldots ,&x_{i}^{p-1};\\y_{i}^{1},&y_{i}^{2},&\ldots ,&y_{i}^{p-1};\\n_{k}^{0},&n_{k}^{1},&\ldots ,&n_{k}^{p-2};\\\mathrm {S} _{1},&\mathrm {S} _{2},&\ldots ,&\mathrm {S} _{p},\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/843295eec78375bc80cf64bf3a5d3dd331321ff0)
et que l’on se propose de déterminer
![{\displaystyle \xi _{i}^{p},\quad \eta _{i}^{p},\quad x_{i}^{p},\quad y_{i}^{p},\quad n_{k}^{p-1},\quad \mathrm {S} _{p+1}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aab91e61e4782f7279491e6d2e998da1416fae42)
Égalons dans les deux membres de (4) les termes d’ordre
et
dans les deux membres de (5) et de (6) les termes d’ordre
Je poserai pour abréger, comme dans le Chapitre précédent,
![{\displaystyle \Delta u={\textstyle \sum }\,n_{k}^{0}\,{\frac {du}{dw_{k}}}\cdot }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1346c1702c27c529775acb4b5c0aabf58bb3deba)
Il viendra alors
(7)
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(8)
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![{\displaystyle {\frac {d\mathrm {S} _{p+1}}{dw_{k}}}={\textstyle \sum }\,\xi _{i}^{p}\,{\frac {d\eta _{i}^{1}}{dw_{k}}}-{\textstyle \sum }\,\eta _{i}^{p}\,{\frac {d\xi _{i}^{1}}{dw_{k}}}+\Phi .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5990158f250617f92d7d1c0402a830e0eb7112b3)
Si nous remarquons que
![{\displaystyle {\begin{aligned}d\xi _{i}^{1}&=-\eta _{i}^{1}\,dw_{i},&d\eta _{i}^{1}&=\xi _{i}^{1}\,dw_{i},\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ea7b756ef4e390b0c761c3663b4d008da4ed0ba5)
nous pourrons écrire
(9)
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Si nous combinons (8) et (9), nous aurons
(10)
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d’autre part, (9) pourra s’écrire
(11)
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