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AUTRES PROCÉDÉS DE CALCUL DIRECT.

Je poserai ensuite

{\begin{aligned}\mathrm {X} _{i}-\mathrm {A} _{i}&=\lambda ^{p+1}\mathrm {C} _{i},\\\mathrm {Y} _{i}^{k}&=\lambda \mathrm {Z} _{i}^{k}.\end{aligned}}

Ce que je me propose d’établir, c’est que $\mathrm {C} _{i}$ reste fini pour $\lambda =0.$

L’équation (θ) étant satisfaite aux termes près de l’ordre $p+2,$ nous aurons

{\textstyle \sum }\,\mathrm {Y} _{i}^{k}\left(\mathrm {X} _{i}-\mathrm {A} _{i}\right)=\lambda ^{p+2}\mathrm {H} _{k},

$\mathrm {H} _{k}$ restant fini pour $\lambda =0\,;$ d’où

{\textstyle \sum }\,\mathrm {Z} _{i}^{k}\mathrm {C} _{i}=\mathrm {H} _{k}.

Il suit de là que $\mathrm {C} _{i}$ reste fini pour $\lambda =0,$ pourvu que le déterminant des $\mathrm {Z} _{i}^{k}$ ne s’annule pas pour $\lambda =0.$

Or ce déterminant se réduit pour $\lambda =0$ à

\pm \alpha _{1}'.\alpha _{2}'...\alpha _{n}'.

Il n’est donc pas nul. C.Q.F.D.

165.Je reviens maintenant au problème du n^o 162. Je me propose de démontrer que (7 e) est une conséquence de (4 e), (6 c′) et (8 e), en supposant, bien entendu, comme nous l’avons fait plus haut, qu’on ait préalablement satisfait aux équations (4 a), (4 b) (6 a), (6 b), (8 a), (8 b), (1 a), (1 b).

Ces hypothèses peuvent se traduire de la manière suivante.

Dire que (4 a), (4 b) et (4 e) sont satisfaites, c’est dire que l’on a

\mathrm {F} =\mathrm {const.} +\mu ^{2}\mathrm {H} _{0}.

Je désigne par $\mathrm {H}$ toute fonction développable suivant les puissances croissantes de $\mu$ et périodique par rapport aux $w$ et aux $w'$ et par $\mathrm {H} _{0}$ toute fonction $\mathrm {H}$ dont la valeur moyenne s’annule pour $\mu =0.$

On en déduit

(α)

{\boldsymbol {\sum }}\left({\frac {d\mathrm {F} }{d\lambda }}{\frac {d\lambda }{dw_{k}}}+{\frac {d\mathrm {F} }{d\Lambda }}{\frac {d\Lambda }{dw_{k}}}+{\frac {d\mathrm {F} }{d\tau _{i}}}{\frac {d\tau _{i}}{dw_{k}}}+{\frac {d\mathrm {F} }{d\sigma _{i}}}{\frac {d\sigma _{i}}{dw_{k}}}\right)=\mu ^{2}\mathrm {H} _{0}.