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CHAPITRE XV.
Les équations (α) et (γ) deviennent alors
(α′)
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(γ′)
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avec d’autres équations analogues où
sont remplacés
par les mêmes lettres accentuées.
D’autre part, (8 a), (8 b) et (8 c) étant supposées satisfaites, il vient
![{\displaystyle \mathrm {Y} _{i}-\mathrm {B} _{i}=\mu ^{2}\mathrm {H} _{0}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/42fc3cb9914c54db51de5e27a5a569181be79ef3)
La combinaison de toutes nos équations nous donnera alors
![{\displaystyle {\boldsymbol {\sum }}{\frac {d\lambda }{dw_{k}}}\left({\frac {d\Lambda }{dt}}-{\frac {d\mathrm {F} }{d\lambda }}\right)+\mathrm {Y} _{i}^{k}\left(\mathrm {X} _{i}-\mathrm {A} _{i}\right)=\mu ^{2}\mathrm {H} _{0}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/96f9091cd909efc93e2662a8af23be5e503f8e3d)
avec une autre équation où
et
sont remplacés par les mêmes
lettres accentuées.
Nous avons là un système d’équations linéaires d’où l’on pourra tirer
![{\displaystyle {\frac {d\Lambda }{dt}}-{\frac {d\mathrm {F} }{d\lambda }}\quad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/019e94c472dd33725e56fc09692b99b9c7bc7426)
et
![{\displaystyle \quad X_{i}-\mathrm {A} _{i}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/16b2abff90a4a729f55c07591eeee25e5ca82c38)
Pour
que deviennent les coefficients de ces équations et
leur déterminant ?
Les dérivées de
s’annulent, sauf
et
qui se réduisent
à 1. Les
s’annulent. Quant à
![{\displaystyle \mathrm {Y} _{i}'^{k}={\frac {d\sigma _{i}^{0}}{dw_{k}'}}\sin w_{i}'-{\frac {d\tau _{i}^{0}}{dw_{k}'}}\cos w_{i}'}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b6f69082731cb2a7ce3da825d5ee44023b7c6781)
il est indépendant de
et ![{\displaystyle w_{2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fc7eb2c28ea214d2c9bad19e83e948a53d573c2a)
Le déterminant et ses mineurs est donc indépendant des
pour
de plus, ce déterminant ne s’annule pas.
Il vient donc
![{\displaystyle \mathrm {X} _{i}-\mathrm {A} _{i}=\mu ^{2}\mathrm {H} _{0},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a632063d894797499edcb7dc3f8a052a4db58e41)
ce qui veut dire que (7 a), (7 b), (7 e) sont satisfaites.
C.Q.F.D.