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CAS DES ÉQUATIONS LINÉAIRES.
Soit de même
une seconde intégrale particulière telle que
![{\displaystyle {\begin{aligned}f(0)&=0,&f'(0)&=1.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/de5c018616090933b1713acb3fc1451a984a6f79)
Alors si
et
sont les valeurs initiales de
et de
pour
on aura
![{\displaystyle x=x_{0}\mathrm {F} (t)+x_{0}'f(t).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8c12b9a749301654f4fca466a1487a98f8876a07)
Notre théorème, c’est alors que
et
seront des fonctions entières de
et de
Il en est de même de
et
Supposons, en particulier, que
![{\displaystyle x=e^{iht}\varphi _{1}(t),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/563490adda2ca5865d10bdf5aa7477cee68d8c04)
il viendra
![{\displaystyle {\begin{aligned}\varphi _{1}(0)&=x_{0},&\varphi _{1}'(0)+ih\varphi _{1}(0)&=x_{0}'\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e4d56b120fcc76aab56b37235bd38693a342779d)
et
![{\displaystyle {\begin{alignedat}{3}e^{ih\pi }\varphi _{1}(\pi )&=x_{0}\mathrm {F} (\pi )&{}+{}&x_{0}'f(\pi ),\\e^{ih\pi }\left[\varphi _{1}'(\pi )+ih\varphi _{1}(\pi )\right]&=x_{0}\mathrm {F} '(\pi )&{}+{}&x_{0}'f'(\pi ).\end{alignedat}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ec223eee178666f8f38472cbb792d52197d1a9a0)
Mais la fonction
est périodique, de sorte qu’on a
![{\displaystyle {\begin{aligned}\varphi _{1}(0)&=\varphi _{1}(\pi ),&\varphi _{1}'(0)&=\varphi _{1}'(\pi ),\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e5f16ab2ff1567a1ba1fdc2353cf66d8e3024937)
d’où
![{\displaystyle {\begin{alignedat}{3}e^{ih\pi }x_{0}&=x_{0}\mathrm {F} (\pi )&{}+{}&x_{0}'f(\pi ),\\e^{ih\pi }x_{0}'&=x_{0}\mathrm {F} '(\pi )&{}+{}&x_{0}'f'(\pi ).\end{alignedat}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1bce2075da0d7fa3e1091b7f940c606be31d06b4)
D’où
![{\displaystyle \left[\mathrm {F} (\pi )-e^{ih\pi }\right]\left[f'(\pi )-e^{ih\pi }\right]-f(\pi )\mathrm {F} '(\pi )=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e0881f3b06b6e49a1ead44a80e492f79ba7082d8)
Ainsi
est une racine de l’équation en ![{\displaystyle \mathrm {S} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9044c1a27dd84b9c1aa9cc2c1b6cd36f3f956ffb)
![{\displaystyle \left[\mathrm {F} (\pi )-\mathrm {S} \right]\left[f'(\pi )-\mathrm {S} \right]-f(\pi )\mathrm {F} '(\pi )=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/70bfad3a70c677e03df7031d6ec8cdbd46066252)
On verrait de la même manière que l’autre racine est
Donc la somme des racines est égale à
de sorte qu’on a
![{\displaystyle 2\cos h\pi =\mathrm {F} (\pi )+f'(\pi ).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/11c837bdf95eafc8ddad8cb9b6354be8bb40e561)
Il en résulte que
est une fonction entière de
et de
c’est-à-dire que
peut être développé suivant les puissances
entières de
et de
et que le développement est toujours convergent.
Je dis maintenant que ce développement ne contient que des
puissances paires de