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CHAPITRE XVII.

deux exposants caractéristiques $h{\sqrt {-1}}$ et $-h{\sqrt {-1}}$ étant égaux et de signe contraire.

Pour aller plus loin, nous allons faire usage d’un théorème général que j’ai démontré dans mon Mémoire sur les groupes des équations linéaires (Acta mathematica, t. IV, p. 212).

Soit une équation linéaire de la forme suivante

(4)

$\left\{{\begin{aligned}{\frac {d^{p}y}{dx^{p}}}&=\varphi _{p-1}(x){\frac {d^{p-1}y}{dx^{p-1}}}\\&+\varphi _{p-2}(x){\frac {d^{p-2}y}{dx^{p-2}}}+\ldots +\varphi _{1}(x){\frac {dy}{dx}}+\varphi _{0}(x)y.\end{aligned}}\right.$

Les coefficients $\varphi _{i}(x)$ sont des fonctions, non seulement de $x,$ mais d’un certain nombre de paramètres dont elles dépendent linéairement.

Supposons, par exemple, qu’il y ait trois paramètres et appelons-les $\mathrm {A} ,$ $\mathrm {B}$ et $\mathrm {C} .$ Alors la fonction $\varphi _{i}(x)$ sera de la forme

$\varphi _{i}(x)=\mathrm {A} \varphi _{i}'(x)+\mathrm {B} \varphi _{i}''(x)+\mathrm {C} \varphi _{i}'''(x).$

Les fonctions $\varphi _{i}'(x),$ $\varphi _{i}''(x)$ et $\varphi _{i}'''(x)$ seront continues, ainsi que toutes leurs dérivées, dans l’intérieur d’un domaine d’où nous ne ferons pas sortir $x$

Cela posé, donnons-nous les valeurs initiales de $y$ et de ses $p-1$ premières dérivées au point $x=0$ et faisons varier $x$ depuis 0, jusqu’à une certaine valeur $x_{1},$ en suivant un chemin déterminé. Soit $y_{1}$ la valeur que prendra $y$ quand $x$ arrivera au point $x_{1}.$ Il est clair que $y_{1}$ dépendra :

1^o Des valeurs initiales de $y$ et de ses dérivées (il en dépendra d’ailleurs linéairement) ;

2^o Des paramètres $\mathrm {A,\,B,\,C} .$

Eh bien, le théorème en question, c’est que $y_{1}$ peut être développé en une série procédant suivant les puissances croissantes de $\mathrm {A} ,$ $\mathrm {B}$ et $\mathrm {C}$ et que cette série convergera, quelles que soient les valeurs de ces trois quantités ; ou, en d’autres termes, que $y_{1}$ sera une fonction entière de $\mathrm {A} ,$ $\mathrm {B}$ et $\mathrm {C} .$

Appliquons ce théorème à l’équation (1).

Soit $\mathrm {F} (t)$ une intégrale particulière de cette équation telle que

${\begin{aligned}\mathrm {F} (0)&=1,&\mathrm {F} '(0)&=0\,;\end{aligned}}$

[je désigne pour abréger ${\frac {d\mathrm {F} }{dt}}$ par $\mathrm {F} '(t)$].