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CAS DES ÉQUATIONS LINÉAIRES.

Cela peut donner à penser que ce contact est toujours d’ordre $n-1\,;$ mais je ne l’ai pas vérifié.

La figure suivante, contenue dans le rectangle

$q=0,\quad q_{1}=0,\quad q_{1}=\varepsilon ,\quad q=4+\varepsilon ,$

peut résumer la discussion qui précède. La région couverte de hachures est celle où $h$ est imaginaire.

Fig. 1.

On peut tirer de l’équation qui donne $\cos h\pi ,$ en fonction de $q$ et de $q_{1},$ divers développements, dont la convergence est plus ou moins rapide et qui donnent $h,$ ordonné suivant les puissances de $q_{1}.$ Mais je crois qu’il est préférable de calculer $\cos h\pi$ à l’aide des formules précédentes et d’en déduire $h$ par les Tables trigonométriques.

180.Une fois $h$ déterminé, il s’agit de trouver les coefficients $\mathrm {A} _{n}$ du développement

$\mathrm {F} (t)={\textstyle \sum }\,\mathrm {A} _{n}\cos(h+2n)t.$

D’après la définition même de $\mathrm {F} (t),$ on doit avoir

${\textstyle \sum }\,\mathrm {A} _{n}=1.$

Il vient, d’autre part,

$\mathrm {F} (t)={\textstyle \sum }\,\mathrm {A} _{n}\,{\frac {e^{i(h+2n)t}}{2}}+{\textstyle \sum }\,\mathrm {A} _{n}\,{\frac {e^{-i(h+2n)t}}{2}}\cdot$

Mais, d’après ce que nous avons vu au n^o 29, notre équation (1) doit admettre deux solutions de la forme

${\textstyle \sum }\,\mathrm {B} _{n}\,{\frac {e^{i(h+2n)t}}{2}},\quad {\textstyle \sum }\,\mathrm {C} _{n}\,{\frac {e^{-i(h+2n)t}}{2}},$