(où est la valeur de pour ), et, d’après ce que nous venons de supposer, cette solution ne passe par aucun point singulier.
Voyons ce qui arrive dans le cas particulier du Problème des trois Corps. La fonction ne peut cesser d’être holomorphe que si deux des trois corps viennent à se choquer. La solution particulière que nous considérons représente, dans le cas de l’ensemble de deux ellipses képlériennes décrites par les deux petites masses sous l’attraction d’une masse égale à 1 placée à l’origine. Pour qu’un choc puisse se produire, il faudrait que ces deux ellipses se coupassent ; or c’est ce qui n’arrive jamais dans les applications astronomiques.
Nous arrivons donc à cette conclusion :
Dans le Problème des trois Corps, nous définirons la situation du système par les douze variables définies au no 11.
On se donne les valeurs de ces variables pour et l’on demande quelles seront les valeurs de ces mêmes variables à l’époque
Nous venons de voir que ces valeurs sont développables suivant les puissances des masses, des des et de
Il n’y a qu’un cas d’exception, qui est le suivant : supposons que, pour les valeurs initiales des variables soient et et que, les masses étant supposées nulles, le mouvement se continue ensuite d’après les lois de Képler, si, dans ces conditions, un choc se produisait avant l’époque ce que nous venons de dire ne serait plus vrai.
On pourrait calculer de la sorte une limite inférieure du temps pendant lequel il est permis de développer les coordonnées des planètes suivant les puissances des masses ; mais la limite ainsi obtenue serait beaucoup trop éloignée de la limite précise pour que ce calcul présentât de l’intérêt.
Emploi des séries trigonométriques.
29.Les séries de puissances ne sont pas les seules qui puissent servir à l’intégration des équations différentielles ; on se sert également des séries trigonométriques. Je veux en dire ici quel-
