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CAS DES ÉQUATIONS LINÉAIRES.

il viendra

${\begin{aligned}\mathrm {F} (t)&={\textstyle \sum }\left[\mathrm {C} \cos(h-p)t\cos(2n+p)t-\mathrm {D} \sin(h-p)t\sin(2n+p)t\right],\\\mathrm {B} \,f(t)&={\textstyle \sum }\left[\mathrm {C} \sin(h-p)t\,\cos(2n+p)t+\mathrm {D} \cos(h-p)t\sin(2n+p)t\right].\end{aligned}}$

Quand $h$ tend vers $p,$ $\cos(h-p)t$ tend vers 1 et $\sin(h-p)t$ vers zéro ; mais, si $\mathrm {D}$ tend vers l’infini, de telle façon que $\mathrm {D} (h-p)$ tende vers une limite finie, le produit $\mathrm {D} \sin(h-p)t$ tendra vers $\mathrm {D} _{0}t,$ $\mathrm {D} _{0}$ étant une constante.

Si alors le point M appartient à la courbe $\mathrm {F} '(\pi )=0,$ le développement de $\mathrm {F} (t)$ doit contenir seulement des termes en

$\cos(2n+p)t$

et celui de $f(t)$ des termes en $\sin(2n+p)t$ et en $t\cos(2n+p)t.$

Il faut donc que $\mathrm {C}$ tende vers une limite finie, $\mathrm {D}$ et $\mathrm {B}$ vers zéro. Donc $\mathrm {A} _{n}$ et $\mathrm {A} _{-n-p}$ tendront vers des limites finies, égales entre elles. Si $p$ est pair, $\mathrm {A} _{\frac {p}{2}}$ devra tendre vers zéro. Il est aisé de vérifier que, si

$\lim \mathrm {A} _{n}=\lim \mathrm {A} _{-n-p},$

on aura, comme il convient,

$\lim \mathrm {B} =\lim {\textstyle \sum }\,\mathrm {A} _{n}(h+2n)=0.$

Si, au contraire, le point M appartient à la courbe $f(\pi )=0,$ le développement de $\mathrm {F} (t)$ devra contenir des termes en

$\cos(2n+p)t\quad$ et $\quad t\sin(2n+p)t,$

et celui de $f(t),$ des termes en $\sin(2n+p)t.$

Il faut donc que $\mathrm {C}$ tende vers une limite finie, $\mathrm {D}$ et $\mathrm {B}$ vers l’infini.

Donc, $\mathrm {A} _{n}$ et $\mathrm {A} _{-n-p}$ tendront vers l’infini, mais leur somme algébrique restera finie.

Mais, que le point M appartienne à la courbe $\mathrm {F} '(\pi )=0$ ou à la courbe $f(\pi )=0,$ ce n’en est pas moins un point singulier pour la fonction $\mathrm {A} _{n}.$ En effet, quand le point $(q,q_{1})$ tourne autour de M, la fonction $\mathrm {A} _{n}$ s’échange avec la fonction $\mathrm {A} _{-n-p},$ comme le font deux déterminations d’une même fonction algébrique.

Il résulte de là que, si $q$ n’est pas entier, $\mathrm {A} _{n}$ pourra se développer