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CAS DES ÉQUATIONS LINÉAIRES.
il viendra
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {F} (t)&={\textstyle \sum }\left[\mathrm {C} \cos(h-p)t\cos(2n+p)t-\mathrm {D} \sin(h-p)t\sin(2n+p)t\right],\\\mathrm {B} \,f(t)&={\textstyle \sum }\left[\mathrm {C} \sin(h-p)t\,\cos(2n+p)t+\mathrm {D} \cos(h-p)t\sin(2n+p)t\right].\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c8dae5a52117f9e601364f7ac9477de5e72bd358)
Quand
tend vers
tend vers 1 et
vers zéro ; mais, si
tend vers l’infini, de telle façon que
tende vers une limite finie, le produit
tendra
vers
étant une constante.
Si alors le point M appartient à la courbe
le développement
de
doit contenir seulement des termes en
![{\displaystyle \cos(2n+p)t}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6a6fa7ddea04eb5d108bf9b34f31e25eea205fd7)
et celui de
des termes en
et en ![{\displaystyle t\cos(2n+p)t.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a6a12f163f7dece5c6824cb9e495ccc6ef230eab)
Il faut donc que
tende vers une limite finie,
et
vers zéro.
Donc
et
tendront vers des limites finies, égales entre
elles. Si
est pair,
devra tendre vers zéro. Il est aisé de vérifier
que, si
![{\displaystyle \lim \mathrm {A} _{n}=\lim \mathrm {A} _{-n-p},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/72f3107c79866231838f7741a8e328d4ea49c97e)
on aura, comme il convient,
![{\displaystyle \lim \mathrm {B} =\lim {\textstyle \sum }\,\mathrm {A} _{n}(h+2n)=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aba1a7cd013e714f50c2df51c3135353ac312511)
Si, au contraire, le point M appartient à la courbe
le
développement de
devra contenir des termes en
![{\displaystyle \cos(2n+p)t\quad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/96b497656de94a499145028e6c12f3a726c4b061)
et
![{\displaystyle \quad t\sin(2n+p)t,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3027791ba121290b222ed8f597822624f6169080)
et celui de
des termes en ![{\displaystyle \sin(2n+p)t.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/02133eae7cd779ace38a6c38ff8c51e175bd7ea4)
Il faut donc que
tende vers une limite finie,
et
vers l’infini.
Donc,
et
tendront vers l’infini, mais leur somme algébrique
restera finie.
Mais, que le point M appartienne à la courbe
ou à la
courbe
ce n’en est pas moins un point singulier pour la
fonction
En effet, quand le point
tourne autour de M,
la fonction
s’échange avec la fonction
comme le font
deux déterminations d’une même fonction algébrique.
Il résulte de là que, si
n’est pas entier,
pourra se développer