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CHAPITRE XVII.

suivant les puissances croissantes de $q_{1},$ et que le rayon de convergence de ce développement sera le module du point singulier le plus rapproché, et les points singuliers seront les points des courbes $\mathrm {C}$ et $\mathrm {C} '$ qui correspondent à la valeur de $q$ considérée.

Il reste à trouver les coefficients du développement. Supposons le problème résolu et soit

$\mathrm {F} (t)={\textstyle \sum }\,\mathrm {A} _{n}\cos(h+2n)t={\textstyle \sum }\,\mathrm {A} _{n}\cos(q+2n+h-q)t,$

ou en développant suivant les puissances de $(h-q),$ il viendra

${\begin{aligned}\mathrm {F} (t)&={\textstyle \sum }\,\mathrm {A} _{n}\cos(q+2n)t-t{\textstyle \sum }\,\mathrm {A} _{n}(h-q)\sin(q+2n)t\\[0.5ex]&-{\frac {t^{2}}{1.2}}{\textstyle \sum }\,\mathrm {A} _{n}(h-q)^{2}\cos(q+2n)+\ldots \end{aligned}}$

Ce développement, qui contient les lignes trigonométriques de $(q+2n)t$ multipliées par des puissances de $t,$ doit être identique à celui que nous avons trouvé plus haut

$\mathrm {F} (t)={\textstyle \sum }\,q_{1}^{i}\mathrm {F} _{i}(t)$

$\mathrm {F} _{i}(t)={\textstyle \sum }\,\beta _{i.n}^{0}\left[\cos(q+2n)t-\cos qt\right]+t\beta _{i.n}^{1}\sin(q+2n)t+\dots .$

Observons, en effet, que $\mathrm {A} _{n},$ $\mathrm {A} _{n}(h-q),$ $\mathrm {A} _{n}(h-q)^{2}$ sont développables suivant les puissances croissantes de $q_{1}.$

En identifiant les deux développements, il vient alors

$\mathrm {A} _{n}={\textstyle \sum }\,q_{1}^{i}\beta _{i.n}^{0}$

et

$\mathrm {A} _{0}=1-{\textstyle \sum }_{i}\,q_{1}^{i}\left({\textstyle \sum }_{n}\,\beta _{i.n}^{0}\right).$

Nous avons donc le moyen de calculer les coefficients du développement. La convergence est généralement suffisante quand $q$ n’est pas voisin d’un nombre entier. Si $q$ est voisin d’un entier $p,$ on peut augmenter la convergence de la manière suivante :

Comme $\mathrm {A} _{n}$ et $\mathrm {A} _{-n-p}$ s’échangent quand on tourne autour du point singulier le plus rapproché, les deux fonctions

$\left(\mathrm {A} _{n}+\mathrm {A} _{-n-p}\right)\quad$ et $\quad \left(\mathrm {A} _{n}+\mathrm {A} _{-n-p}\right)^{2}\quad$

restent uniformes dans le voisinage de ce point singulier, mais la première de ces deux fonctions restera finie et la seconde pourra devenir infinie du premier ordre, si ce point singulier appartient à