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CAS DES ÉQUATIONS LINÉAIRES.
qui n’est autre que celui qui est connu sous le nom de clefs algébriques.
Soit à développer le déterminant
![{\displaystyle \mathrm {D} =\left|{\begin{array}{cccc}a_{11}&a_{12}&\ldots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\ldots &a_{2n}\\\ldots &\ldots &\ldots &\ldots \\a_{n1}&a_{n2}&\ldots &a_{nn}\end{array}}\right|}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eab04983568cce416c073e722a388be972d608af)
Développons le produit
![{\displaystyle {\textstyle \prod }_{p}\left({\textstyle \sum }_{n}a_{pn}\right),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ff908beef062cdb6244b168b977aedc2cce611b2)
puis affectons chacun des termes du produit développé, suivant
les cas, de l’un des coefficients
ou
nous obtiendrons
ainsi ![{\displaystyle \mathrm {D} .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f509e2299cfb2ecd9f23c4c6aa877a5a451c2f03)
Il est aisé d’en déduire l’inégalité suivante : formons le produit
![{\displaystyle \Pi ={\textstyle \prod }_{p}\left({\textstyle \sum }_{n}|a_{pn}|\right),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/01f8c165ddd0df4a7667adbf08215e6042d09eb5)
on aura
(6)
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Supposons maintenant qu’on remplace dans le déterminant
un certain nombre d’éléments par zéro, le déterminant
deviendra
et
deviendra
un certain nombre de termes s’annuleront
dans le développement de
et les termes correspondants
s’annuleront aussi dans le développement de
On aura alors
(7)
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Telles sont les deux inégalités très simples qui vont nous servir de
point de départ.
Pour que le déterminant
d’ordre infini converge, il suffit que
le produit
correspondant, qui s’écrit
(8)
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converge lui-même ou, d’après un théorème bien connu, que la
série
![{\displaystyle |a_{21}|+|a_{31}|+|a_{41}|+\ldots +|a_{n1}|+\ldots +|a_{12}|+|a_{32}|+\ldots +|a_{13}|+\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/639f8288defd1c01009549040ade35e8d203c7cc)
converge elle-même.