En effet, soient et les déterminants obtenus en prenant dans le Tableau (5) les premières, puis les premières lignes et colonnes. Soient et les valeurs correspondantes du produit défini plus haut.
Comme dans le Tableau (5) les termes de la diagonale principale sont égaux à 1, on passera de à en annulant un certain nombre des éléments de ce déterminant on aura donc
Mais, si le produit (8) converge, le second membre de cette inégalité
tend vers zéro quand et croissent indéfiniment. Il en
est donc de même du premier membre, ce qui prouve que tend
vers une limite finie et déterminée.C.Q.F.D.
Donc, pour que le déterminant converge, il suffit que la série obtenue en prenant dans ce déterminant tous les éléments qui n’appartiennent pas à la diagonale principale converge absolument.
Je vais faire voir maintenant que le déterminant converge absolument, c’est-à-dire qu’on peut modifier l’ordre des colonnes ou des lignes sans changer la valeur limite du déterminant.
Soient en effet deux Tableaux analogues à (5) et ne différant que par l’ordre des colonnes et des lignes. Je supposerai toutefois que, dans l’un comme dans l’autre Tableau, les éléments égaux à 1 occupent la diagonale principale. Soit le déterminant obtenu en prenant les premières lignes et colonnes du premier Tableau. Soit le déterminant obtenu en prenant les premières lignes et colonnes du second Tableau, étant assez grand pour que tous les éléments de se retrouvent dans Soient et les produits correspondant à et On passera de à en annulant dans un certain nombre d’éléments. Je puis donc écrire
Mais, le produit (8) étant absolument convergent, on aura
On aura donc aussi
