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CHAPITRE XVII.

multiplié par une des quantités $x$ ou par cette quantité changée de signe. Donc, d’après l’hypothèse

$|x_{i}|<k,$

on devra avoir

$|\Delta _{n}|<k\,\Pi _{n}.$

Si l’on annule quelques-uns des éléments de $\Delta _{n}$ ce déterminant devient $\Delta _{n}'$ et le produit $\Pi _{n}$ devient $\Pi _{n}'.$ Quelques-uns des termes du produit $\Pi _{n}$ s’annulent et les termes correspondants de $\Delta _{n}$ s’annulent également. On a donc

$\left|\Delta _{n}'-\Delta _{n}\right|<k\left(\Pi _{n}-\Pi _{n}'\right).$

Observons maintenant que, pour passer du déterminant $\Delta _{n+p}$ au déterminant $\Delta _{n}$ il suffit d’y annuler certains éléments ; nous trouverons

$\left|\Delta _{n+p}-\Delta _{n}\right|<k\left(\Pi _{n+p}-\Pi _{n}\right)$

et nous en déduirons, comme précédemment, que $\Delta _{n}$ tend vers une limite finie et déterminée, pourvu qu’il en soit ainsi de $\Pi _{n},$ et c’est précisément ce qui arrive quand la série

${\textstyle \sum }\,|a_{np}|\qquad (n\gtrless p)$

converge.

186.Appliquons ces principes au cas particulier qui a été traité par M. Hill dans son Mémoire sur le mouvement du périgée de la Lune (Acta math., t. VIII).

Reprenons les équations (2) du n^o 184

(2)

$\mathrm {A} _{n}\left[q^{2}-(h+2n)^{2}\right]={\frac {q_{1}}{2}}(\mathrm {A} _{n-1}+\mathrm {A} _{n+1}).$

Nous avons une infinité d’équations linéaires à une infinité d’inconnues. Pour avoir le droit de les traiter d’après les règles ordinaires du calcul et de calculer leur déterminant je veux d’abord que la diagonale principale ait tous ses éléments égaux à 1 et j’écris, par conséquent, cette équation sous la forme

(2 bis)

$\mathrm {A} _{n}-{\frac {q_{1}}{2\left[q^{2}-(h+2n)^{2}\right]}}\left(\mathrm {A} _{n-1}+\mathrm {A} _{n+1}\right)=0.$