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CAS DES ÉQUATIONS LINÉAIRES.

On aura donc, en appelant encore $a_{n.p}$ l’élément du déterminant qui appartient à la ligne numérotée $n$ et à la colonne numérotée $p$

${\begin{aligned}a_{nn}&=1;&a_{n.n-1}&=a_{n.n+1}=-{\frac {q_{1}}{2\left[q^{2}-(h+2n)^{2}\right]}}\,;\\[0.5ex]&&a_{n.p}&=0\quad \left({\begin{array}{r}p<n-1\\\mathrm {ou} \;p>n+1\end{array}}\right).\end{aligned}}$

Pour que le déterminant converge, il suffit donc que la série

$\sum _{n=-\infty }^{n=+\infty }\left|{\frac {_{1}}{q^{2}-(h+2n)^{2}}}\right|$

converge, condition qui est évidemment remplie.

Ce déterminant est évidemment une fonction de $h$ que j’appellerai avec M. Hill $\square \,(h).$

Alors $h$ sera déterminé par l’équation

(3)

$\square \,(h)=0$

sur laquelle nous allons revenir.

Supposons ensuite que dans ce déterminant nous remplacions les éléments de la ligne numérotée zéro par des indéterminées $x,$ que nous remplacions par conséquent

$\ldots ,\quad a_{0.-p}=0,\quad \ldots ,\quad a_{0.-1}={\frac {-q_{1}}{2(q^{2}-h^{2})}},\quad a_{0.0}=1,$

$a_{0.1}={\frac {-q_{1}}{2(q^{2}-h^{2})}},\quad \ldots ,\quad a_{0.p}=0,\quad \ldots$

respectivement par

$\ldots ,\quad x_{-p},\quad \ldots ,\quad x_{-1},\quad x_{0},\quad x_{1},\quad \ldots ,\quad x_{p},\quad \ldots$

D’après ce qui précède, le déterminant $\Delta$ ainsi obtenu convergera encore pourvu que les quantités $|x|$ soient plus petites qu’un nombre donné $k.$ Il sera une fonction linéaire des $x$ et pourra s’écrire

$\Delta =\ldots +\mathrm {A} _{-p}x_{-p}+\ldots +\mathrm {A} _{0}x_{0}+\ldots +\mathrm {A} _{p}x_{p}+\ldots$

On obtiendra d’ailleurs évidemment $\mathrm {A} _{p}$ en donnant à $x_{p}$ la valeur 1 et aux autres indéterminées $x$ la valeur zéro.