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CHAPITRE XVII.

d’où

$\mathrm {F} (x^{2})={\frac {2}{\pi ^{2}}}\left[\cos \pi {\sqrt {-x^{2}-\lambda }}-\cos \pi y\right].$

L’inégalité (α) est vraie quels que soient $q^{2}$ et $q_{1},$ pourvu que $x$ et $y$ soient réels.

Nous savons maintenant que le rapport

${\frac {\cos ix}{e^{|x|}}}$

tend vers 1/2 quand $x$ croît indéfiniment par valeurs réelles. Il résulte de là qu’on peut trouver une constante numérique $\mathrm {B}$ telle que

$\mathrm {F} (x^{2})<\mathrm {B} \,e^{\pi {\sqrt {x^{2}+\lambda }}}\,;$

on en déduit

$|\nabla (y+ix)|<\mathrm {B} \,e^{\pi {\sqrt {x^{2}+\lambda }}},$

d’où

$|\nabla (z)|<\mathrm {B} \,e^{\pi {\sqrt {|z^{2}|+\lambda }}}<\mathrm {B} \,e^{\pi {\sqrt {\lambda }}}\,e^{\pi |z|}.$

Considérons maintenant le rapport

${\frac {\nabla (z)}{\cos \pi z-\cos \pi h}}\cdot$

Le numérateur s’annule toutes les fois que le dénominateur s’annule, et il en résulte que ce rapport est une fonction entière, tant en $z$ qu’en $q^{2}$ et en $q_{1}.$

Comme ce rapport est une fonction périodique de $z,$ nous pouvons toujours supposer que la partie réelle de $z$ reste comprise entre $-1$ et $+1\,;$ faisons donc tendre la partie imaginaire vers l’infini et voyons comment se comporte notre rapport

${\frac {\nabla (z)}{\cos \pi z-\cos \pi h}}={\frac {\nabla (z)}{e^{\pi |z|}}}\,{\boldsymbol {:}}\,{\frac {\cos \pi z-\cos \pi h}{e^{\pi |z|}}}\cdot$

Le premier facteur du second membre reste inférieur en valeur absolue à $\mathrm {B} \,e^{\pi {\sqrt {\lambda }}}\,;$ le second facteur tend vers 1/2 : notre rapport reste donc fini. C’est donc une fonction entière de $z$ qui reste constamment inférieure à une certaine limite ; cette fonction doit donc d’après un théorème connu se réduire à une constante indépendante de $z.$