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CHAPITRE XVIII.
Il convient donc d’attribuer à
et à
de nouvelles valeurs
et
que nous choisirons de telle sorte que l’intégrale générale de
l’équation
(2 bis)
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ne contienne pas de termes séculaires. Nous savons quelle est
la condition nécessaire et suffisante pour qu’il en soit ainsi.
Soient
et
deux intégrales indépendantes de l’équation
![{\displaystyle {\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}+x(q^{2}-q_{1}\cos 2t)=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9e71f3b67f5ed10e753eb325bb64d667018c547c)
Il faut que les développements de
et de
ne contienne
pas de terme tout connu. Il est clair que l’on peut toujours disposer
de
et de
pour qu’il en soit ainsi.
Cela posé, envisageons l’équation
![{\displaystyle {\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}+x\left[q^{2}+\beta _{2}+(-q_{1}+\gamma _{2})\cos 2t\right]=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0eefa5bb420c9c93da121fcb9d609b64ad0d436c)
Soient
et
deux intégrales de cette équation et
la
valeur correspondante du nombre
et
seront alors
développés suivant les cosinus et les sinus de
étant
un entier.
Observons maintenant que
contient des termes de deux sortes.
Ceux de la première sorte dépendent des sinus et des cosinus de
![{\displaystyle (h_{1}+2n)t\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e299ba4405d4d53aee42e9070183cd732e189b2f)
ceux de la seconde sorte dépendent des sinus et des cosinus de
![{\displaystyle (\lambda +2n)t,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4b4c3ef61912afb8463d8d0b53633a48639b513b)
étant un des arguments dont dépend ![{\displaystyle \varphi .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b0b6c90c1e9984232aed2d530ac2fb2660ea000a)
Soit alors
ce que devient
quand on y remplace
par
dans les termes de la première sorte ; et soit
ce que devient
quand on y remplace
par
Au lieu de l’équation
![{\displaystyle {\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}+x\left[q^{2}+\beta _{2}+(-q_{1}+\gamma _{2})\cos 2t\right]=\psi _{1},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9267425cde520add04bab59966a72f61960ac8f8)