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CAS DES ÉQUATIONS NON LINÉAIRES.
qu’il pourrait paraître naturel d’envisager, puisqu’elle s’obtient
en faisant dans les deux membres de (2)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\beta &=\beta _{2},&\gamma &=\gamma _{2}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a4c3c77940355f2c3d9b31f56c9a6c3185125e02)
et dans le second membre
![{\displaystyle x=\xi _{1}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6deb8fd426133c68798cb1c751ee41ed7cb1f8ab)
au lieu de cette équation, dis-je, nous envisagerons la suivante
(3)
|
|
|
En effet
diffère très peu de
de sorte que la différence
est bien de l’ordre des termes que nous négligeons.
Considérons une solution quelconque de cette équation (3).
Comme
et
diffèrent peu de
et
et
de
les
termes tout connus de
et
![{\displaystyle x_{2}^{(2)}\psi _{1}'}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c09ce009869f676c399d3ff7f59b9faa15ca166c)
différeront peu de ceux de
et
![{\displaystyle x_{2}^{(2)}\psi _{1},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5f0b514f57f7be0d1f8f443bced8b273a8e14972)
qui sont nuls ; ils seront donc très petits ; donc, dans la solution
envisagée de l’équation (3), les termes séculaires seront très petits
et nous pourrons les négliger ; j’appellerai alors
non pas la
solution de l’équation (3) elle-même, mais ce que devient cette
solution quand on en a retranché ces termes séculaires.
Soit alors
![{\displaystyle \psi _{2}=\beta _{2}\xi _{2}+\gamma _{3}\xi _{2}\cos 2t+\alpha \varphi (\xi _{2},t).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bb281fba55a136e9d19980fed473370d982e59c7)
Nous déterminerons β₂ et γ₃ de telle façon que les termes tout
connus de
et
![{\displaystyle x_{2}^{(2)}\psi _{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ad88edec8ba7b57ae36a44e3aeb84277de4434ab)
soient nuls.
Formons maintenant l’équation
![{\displaystyle {\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}+x\left[q^{2}+\beta _{2}+(-q_{1}+\gamma _{3})\cos 2t\right]=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/599c8121080a95cf5001b86ca2d1e00f4a516a32)
Soient
et
deux solutions de cette équation et
la valeur
correspondante de