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CHAPITRE XVIII.

Ou bien nos conditions doivent être remplies d’elles-mêmes.

193.Pour démontrer que ces conditions sont effectivement remplies d’elles-mêmes, il me reste à établir la possibilité du problème. C’est ainsi que la méthode du n^o 127 n’aurait pas été légitime si je n’avais démontré préalablement au n^o 125 la possibilité du développement.

Considérons un système d’équations canoniques

(1)

${\begin{aligned}{\frac {dx_{i}}{dt}}&={\frac {d\mathrm {F} }{dy_{i}}},&{\frac {dy_{i}}{dt}}&=-{\frac {d\mathrm {F} }{dx_{i}}}&(i=1,\,2,\,\ldots ,\,n).\end{aligned}}$

Je suppose que $\mathrm {F}$ est développable suivant les puissances d’un paramètre $\mu ,$ sous la forme

$\mathrm {F} =\mathrm {F} _{0}+\mu \,\mathrm {F} _{1}+\mu ^{2}\mathrm {F} _{2}+\ldots ;$

mais je ne suppose plus, comme au n^o 125, que $\mathrm {F} _{0}$ soit indépendant des $y_{i}.$

Je suppose que $\mathrm {F}$ soit périodique de période $2\pi$ par rapport aux $y_{i}.$

Je suppose, enfin, que l’on ait su intégrer les équations

(2)

${\begin{aligned}{\frac {dx_{i}}{dt}}&={\frac {d\mathrm {F} _{0}}{dy_{i}}},&{\frac {dy_{i}}{dt}}&=-{\frac {d\mathrm {F} _{0}}{dx_{i}}}\end{aligned}}$

et que la solution satisfasse aux conditions suivantes :

1^o Les variables $x_{i}$ et $y_{i}$ seront des fonctions de $n$ constantes d’intégration

$x_{1}',\quad x_{2}',\quad \ldots ,\quad x_{n}',$

et de $n$ arguments

$y_{1}',\quad y_{2}',\quad \ldots ,\quad y_{n}',$

2^o Ces $n$ arguments seront eux-mêmes des fonctions du temps, de sorte que l’on aura

$y_{i}'=\lambda _{i}t+\varpi _{i}\,;$

les $\lambda _{i}$ seront des constantes qui dépendront des $n$ premières constantes d’intégration $x_{i}'\,;$ les $\varpi _{i}$ seront $n$ nouvelles constantes d’intégration.

3^o Les $x_{i}$ et les $y_{i}-y_{i}'$ seront des fonctions périodiques des $y_{i}'$, de période $2\pi .$