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CAS DES ÉQUATIONS NON LINÉAIRES.

variables nouvelles $x_{i}'$ et $y_{i}',$ l’expression

$d\mathrm {S} ={\textstyle \sum }\,x_{i}\,dy_{i}+{\textstyle \sum }\,x_{i}'\,dy_{i}'$

et par conséquent la suivante

${\textstyle \sum }\,(x_{i}\,dy_{i}-x_{i}'\,dy_{i}')$

seront des différentielles exactes.

D’autre part, les $x_{i}'$ et les $y_{i}-y_{i}'$ seront des fonctions périodiques des $y_{i}'.$

Enfin il viendra

$\mathrm {F} _{0}=+hx_{1}'-\lambda ^{2}x_{2}'-\lambda ^{3}x_{3}'-\ldots -\lambda ^{n}x_{n}'.$

Si donc nous prenons pour variables nouvelles les $x_{i}'$ et les $y_{i}',$ la forme canonique des équations (7) ne sera pas altérée et elles pourront s’écrire

(10)

${\begin{aligned}{\frac {dx_{i}'}{dt}}&={\frac {d\mathrm {F} }{dy_{i}'}},&{\frac {dy_{i}'}{dt}}&=-{\frac {d\mathrm {F} }{dx_{i}'}}\cdot \end{aligned}}$

D’ailleurs $\mathrm {F}$ sera périodique par rapport aux $y_{i}'$ et, pour $\alpha =0,$ $\mathrm {F} =\mathrm {F} _{0}$ ne dépendra que des $x_{i}'.$

Nous serons donc dans les conditions des n^os 125 et 127 et nous pourrons conclure que les $x_{i}'$ et les $y_{i}'$ et par conséquent les $x_{i}$ et les $y_{i}$ pourront s’exprimer formellement en fonctions de $\alpha ,$ de $n$ constantes arbitraires et de $n$ variables $w_{k},$ de telle façon que les fonctions $x_{i}',$ $y_{i}'-w_{i},$ $x_{i},$ $y_{i}-w_{i}$ soient développables suivant les puissances de $\alpha$ et périodiques par rapport aux $w_{k}\,;$ ils seront de la forme

$w_{k}=n_{k}t+\varpi _{k},$

les $\varpi _{k}$ étant de nouvelles constantes d’intégration, et les $n_{k}$ des constantes développables suivant les puissances de $\alpha .$

Il est d’ailleurs aisé de voir que, dans le cas particulier qui nous occupe, on a pour $k>1$

$y_{k}=y_{k}'=w_{k},$$n_{k}=\lambda _{k}.$

Pour satisfaire non seulement aux équations (7), mais à l’équa-