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CHAPITRE XVIII.

 Les corrections sont expliquées en page de discussion

stantes arbitraires $x_{1}',$ $x_{2}',\,\ldots ,$ $x_{n}'$ qui satisfasse à l’équation

(8)

${\frac {d\mathrm {S} }{dy_{1}}}\left(q-{\frac {q_{1}}{q^{2}}}\cos ^{2}y_{1}\cos y_{2}\right)-{\textstyle \sum }\,\lambda _{i}{\frac {d\mathrm {S} }{dy_{i}}}=\mathrm {const.}$

C’est, avec quelques différences de notations, l’équation du n^o 181 ; nous avons vu, dans ce n^o 181, qu’en regardant $q_{1}$ comme un coefficient très petit analogue au paramètre $\mu$ du n^o 125, on peut appliquer à cette équation les méthodes de ce n^o 125. La fonction $\mathrm {S} -x_{1}'y_{1}-x_{2}'y_{2}-\ldots -x_{n}'y_{n}$ est une fonction de $x_{1}',$ $y_{1}$ et $y_{2}$ seulement périodique en $y_{1}$ et $y_{2}$ (Cf. n^o 181) ; on n’a pour s’en convaincre qu’à appliquer à l’équation (8) la méthode du n^o 125 en faisant jouer à $q_{1}$ le rôle de $\mu .$

Il résulte de là que l’on peut satisfaire aux équations

(9)

${\begin{aligned}{\frac {dx_{i}}{dt}}&={\frac {d\mathrm {F} _{0}}{dy_{i}}},&{\frac {dy_{i}}{dt}}&=-{\frac {d\mathrm {F} _{0}}{dx_{i}}},\end{aligned}}$

en faisant, comme au n^o 3,

${\begin{aligned}x_{i}&={\frac {d\mathrm {S} }{dy_{i}}},&y_{i}&={\frac {d\mathrm {S} }{dx_{i}}},\end{aligned}}$

et, d autre part,

$y_{i}=\lambda _{i}t+\varpi _{i}\,;$

$\lambda _{i}$ et $\varpi _{i}$ sont des constantes, la seconde arbitraire.

Nous aurons simplement

$x_{i}=x_{i}'$et$y_{i}=y_{i}',$

pour $i>2.$

Nous aurons également $y_{2}=y_{2}'.$

Quant à $y_{1}',$ il sera égal à

$-ht+\varpi _{i},$

de sorte que le coefficient $\lambda _{1}$ ne sera autre chose que le nombre $h$ changé de signe.

Il est aisé de trouver la fonction $\mathrm {S} ,$ ou bien encore l’expression des $x_{i}$ et des $y_{i}$ en fonctions des $x_{i}',\,y_{i}'\,;$ on les trouvera sans peine, en effet, quand on connaîtra le nombre $h$ et les coefficients $\mathrm {A} _{n}$ déterminés au Chapitre précédent.

J’observerai seulement que, d’après la définition même des