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CAS DES ÉQUATIONS NON LINÉAIRES.
Nous nous proposons d’intégrer formellement ces équations sous
la forme suivante ; nos variables devront être développées suivant
les puissances de
et les coefficients seront des fonctions périodiques
de période
de
paramètres
![{\displaystyle w,\quad w_{2},\quad w_{3},\quad \ldots ,\quad w_{n},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7f9329c8e2f7f6aef4ab7f3de2456dc198d6ef34)
avec
![{\displaystyle {\begin{aligned}w&=ht+\varpi _{1},&w_{i}&=h_{i}t+\varpi _{i}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4cd1cedd1640343fbb81e133f4d1f70ba3567635)
Il faudra d’ailleurs évidemment, comme au no 194, faire
![{\displaystyle {\begin{aligned}h_{i}&=\lambda _{i},&\varpi _{i}&=0,&y_{i}&=w_{i}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2db827c354aeab181d3f9b7c07ac410cdc5287e4)
Quant au nombre
il sera développable suivant les puissances
de
Les résultats du no 193 peuvent se résumer comme il suit. Si
un pareil problème est possible pour
il sera encore possible
quand on ne supposera plus
nul.
Or, si nous faisons
notre équation se réduit à
(5)
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Elle s’intègre très aisément par quadratures, et l’on trouve
![{\displaystyle {\begin{aligned}x&=\omega (w),&y&=h\,\omega '(w),&w&=ht+\varpi _{1},\\[0.75ex]&&y_{i}&=w_{i}=\lambda _{i}t.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4f3e9b4fd32e3ea6bed0441e2457ceff3c8ddff8)
et
sont des fonctions de
et d’une constante d’intégration
elles sont périodiques de période
par rapport à
le nombre
est une fonction de
et
est une nouvelle constante d’intégration.
Le problème que nous nous sommes proposé, étant possible
pour
le sera encore pour
Il reste à le résoudre effectivement.
Pour cela je récris l’équation (2), en mettant en évidence ce fait
que
dépend de
d’abord directement et en outre par l’intermédiaire
de
Je suis ainsi une méthode tout à fait pareille à
celle du no 192.