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CAS DES ÉQUATIONS NON LINÉAIRES.

C’est là une équation linéaire à second membre. Nous sommes donc conduit à envisager l’équation sans second membre

$h_{0}^{2}\,{\frac {d^{2}z}{dw^{2}}}++2h_{0}\,{\frac {d^{2}z}{dw\,dt}}+{\frac {d^{2}z}{dt^{2}}}+f'(x_{0})z=0.$

Cette équation admet évidemment comme solution particulière

${\begin{aligned}z&=z_{1}={\frac {d\omega }{d\beta }},&z&=z_{2}={\frac {d\omega }{dw}}\cdot \end{aligned}}$

Posons, comme au n^o 192,

${\begin{aligned}z_{1}'&=h_{0}\,{\frac {dz_{1}}{dw}}+{\frac {dz_{1}}{dt}},&z_{2}'&=h_{0}\,{\frac {dz_{2}}{dw}}+{\frac {dz_{2}}{dt}}\cdot \end{aligned}}$

Le déterminant $z_{1}z_{2}'-z_{2}z_{1}'$ sera une constante que j’appellerai $k.$ Observons en passant que j’ai écrit les équations comme si $x_{0},$ $z_{1},\,z_{2},$ $z_{1}',\,z_{2}'$ dépendaient à la fois de $w$ et de $t,$ tandis que ces fonctions ne dépendent en réalité que de $w$ et que par conséquent beaucoup des termes de ces équations sont nuls.

Soient alors $\gamma$ et $\delta$ deux quantités définies par les équations

${\begin{aligned}x_{1}&=\gamma z_{1}+\delta z_{2},\\h_{0}\,{\frac {dx_{1}}{dw}}+{\frac {dx_{1}}{dt}}&=\gamma z_{1}'+\delta z_{2}'.\end{aligned}}$

Posons, pour abréger,

${\begin{aligned}\gamma '&=h_{0}\,{\frac {d\gamma }{dw}}+{\frac {d\gamma }{dt}},\\\delta '&=h_{0}\,{\frac {d\delta }{dw}}+{\frac {d\delta }{dt}}\cdot \end{aligned}}$

L’équation (8 bis) pourra alors être remplacée par les deux suivantes

${\begin{aligned}\gamma 'z_{1}+\delta 'z_{2}&=0,\\\gamma 'z_{1}'+\delta 'z_{2}'&=\Phi ,\end{aligned}}$

d’où

${\begin{alignedat}{5}\gamma '&=&{}-{}&\Phi \,z_{2},\\\delta '&=&&\Phi \,z_{1}.\end{alignedat}}$

Ces équations pourront s’intégrer par le même procédé que les équations analogues du n^o 192 et l’on ne rencontrera pas de diffi-