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CHAPITRE XIX.
Posons, en effet,
![{\displaystyle \mathrm {S} =x_{1}^{0}y_{1}+x_{2}^{0}y_{2}+\ldots x_{n}^{0}y_{n}+\varphi (m_{1}y_{1}+m_{2}y_{2}+\ldots +m_{n}y_{n}),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/478f3c399113376098b54a11577b9b7baad83115)
l’équation deviendra
![{\displaystyle \mathrm {F} \left(x_{1}^{0}\!+\!m_{1}\varphi ',\,x_{2}^{0}\!+\!m_{2}\varphi ',\,\ldots ,\,x_{n}^{0}\!+\!m_{n}\varphi ',\,m_{1}y_{1}\!+\!m_{2}y_{2}\!+\!\ldots \!+\!m_{n}y_{n}\right)=\mathrm {C} .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/697b6fcedffa1ac67330b439725943d99f50ffd4)
Résolvons cette équation par rapport à
il viendra
![{\displaystyle \varphi '{}={}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b8c2a30719e9741e8ab07849d707c71a5e750406)
fonction de
![{\displaystyle {\textstyle \sum }\,m_{i}y_{i},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f87e9075bf64468998021c9acaf8aa4ef956d20b)
de
![{\displaystyle x_{1}^{0},\,x_{2}^{0},\,\ldots ,\,x_{n}^{0}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6b383c6c36a3c7d8920ae5cf3232d4bccb6092ff)
et de
![{\displaystyle \mathrm {C} .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/709f95ceb98ef6f75abaf0fc2718cdca897e71f7)
On intégrera cette expression par rapport à
en regardant
et les
comme des constantes, et l’on aura
et par conséquent
en fonction de
des
et de
Il est nécessaire d’entrer dans plus de détails et pour cela je
vais considérer un cas particulier simple en faisant
![{\displaystyle {\begin{array}{c}m_{1}=1,\qquad m_{2}=m_{3}=\ldots =m_{n}=0,\\[0.75ex]\mathrm {F} =x_{1}^{2}+\mu \cos y_{1},\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/00061b717aaf0ca81fe25f9615baa0da635b770a)
étant très petit.
Notre équation devient
![{\displaystyle \left({\frac {d\mathrm {S} }{dy_{i}}}\right)^{2}+\mu \cos y_{1}=\mathrm {C} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fcc9c552a43279fffa2e2bb4a8a34a494b9cc0a3)
d’où
![{\displaystyle {\frac {d\mathrm {S} }{dy_{i}}}={\sqrt {\mathrm {C} -\mu \cos y_{1}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/778cb428c392ff4b280dfa4cd5ac5b65074aa7f1)
Plusieurs cas sont à considérer :
1o On a
![{\displaystyle \mathrm {C} >|\mu |.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/240d08dff60055aa956284408de1c0172956bf77)
Dans ce cas le radical
est toujours réel et ne
s’annule jamais. Il est susceptible de deux déterminations l’une
positive pour toutes les valeurs de
l’autre négative pour toutes
les valeurs de
Prenons par exemple la première, elle sera
développable suivant les cosinus des multiples de
de sorte
qu’on aura
![{\displaystyle {\frac {d\mathrm {S} }{dy_{i}}}=x_{1}^{0}+{\textstyle \sum }\,\mathrm {B} _{n}\cos ny_{1}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/125ddc42720a78fc050a3d093f94d2ebf7ccb5cc)
Je mets en évidence le terme tout connu que j’appelle
il est