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MÉTHODES DE M. BOHLIN.
Il en résulte que si la fonction
![{\displaystyle {\frac {d\mathrm {S} _{0}}{dy_{1}}}+{\sqrt {\mu }}\,{\frac {d\mathrm {S} _{1}}{dy_{1}}}+\mu \,{\frac {d\mathrm {S} _{2}}{dy_{1}}}+\mu \,{\sqrt {\mu }}\,{\frac {d\mathrm {S} _{3}}{dy_{1}}}+\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5b744bfd85f675e89289960c1929f15eb262c2cf)
satisfait à notre équation, il en sera de même de la fonction
![{\displaystyle {\frac {d\mathrm {S} _{0}}{dy_{1}}}-{\sqrt {\mu }}\,{\frac {d\mathrm {S} _{1}}{dy_{1}}}+\mu \,{\frac {d\mathrm {S} _{2}}{dy_{1}}}-\mu \,{\sqrt {\mu }}\,{\frac {d\mathrm {S} _{3}}{dy_{1}}}+\ldots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/627acc4670ace92bef1b6355e2e0ec42b5c2e966)
Ce sont là les deux solutions des équations (4) et on voit que
l’on passe de l’une à l’autre en changeant
en
Mais les
équations (4) ne changent pas non plus quand on change
en
On passera donc aussi d’une solution à l’autre en
changeant
en
D’où cette conséquence :
Quand on change
en
les fonctions d’indice pair
ne changent pas et les fonctions d’indice impair
changent
de signe.
Seulement comme
s’annule pour
et pour
![{\displaystyle y_{1}=y_{1}^{0}+2\pi }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ff475bc600f994ec9c4da5f67b8b91bae483a6ec)
et comme cette dérivée entre en facteur dans le premier membre
des équations (4), il pourrait se faire que
![{\displaystyle {\frac {d\mathrm {S} _{2}}{dy_{1}}},\quad {\frac {d\mathrm {S} _{3}}{dy_{1}}},\quad \ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/456a9c153e16b7f6a277fccdb66d3a0d2aa00915)
devinssent infinis pour
et c’est ce qui arriverait
en effet si les constantes
n’étaient pas convenablement
choisies.
Mais il est possible de faire ce choix de telle façon que les fonctions
restent toujours finies.
Pour le démontrer considérons l’équation
![{\displaystyle \mathrm {F} \left({\frac {d\mathrm {S} }{dy_{1}}},y_{1}\right)=\mathrm {C} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/da9725b6e6096492cedba151d21b1e3c99641a1f)
que je puis écrire
![{\displaystyle \mathrm {F} (x_{1},y_{1})=\mathrm {C} .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d6fd62ddcb70e9fdbc965a90749ce05ac8e10ab4)