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MÉTHODES DE M. BOHLIN.

Il en résulte que si la fonction

${\frac {d\mathrm {S} _{0}}{dy_{1}}}+{\sqrt {\mu }}\,{\frac {d\mathrm {S} _{1}}{dy_{1}}}+\mu \,{\frac {d\mathrm {S} _{2}}{dy_{1}}}+\mu \,{\sqrt {\mu }}\,{\frac {d\mathrm {S} _{3}}{dy_{1}}}+\ldots$

satisfait à notre équation, il en sera de même de la fonction

${\frac {d\mathrm {S} _{0}}{dy_{1}}}-{\sqrt {\mu }}\,{\frac {d\mathrm {S} _{1}}{dy_{1}}}+\mu \,{\frac {d\mathrm {S} _{2}}{dy_{1}}}-\mu \,{\sqrt {\mu }}\,{\frac {d\mathrm {S} _{3}}{dy_{1}}}+\ldots .$

Ce sont là les deux solutions des équations (4) et on voit que l’on passe de l’une à l’autre en changeant ${\sqrt {\mu }}$ en $-{\sqrt {\mu }}.$ Mais les équations (4) ne changent pas non plus quand on change $y_{1}$ en $y_{1}+2\pi .$ On passera donc aussi d’une solution à l’autre en changeant $y_{1}$ en $y_{1}+2\pi .$

D’où cette conséquence :

Quand on change $y_{1}$ en $y_{1}+2\pi ,$ les fonctions d’indice pair ${\frac {d\mathrm {S} _{2n}}{dy_{1}}}$ ne changent pas et les fonctions d’indice impair ${\frac {d\mathrm {S} _{2n+1}}{dy_{1}}}$ changent de signe.

Seulement comme ${\frac {d\mathrm {S} _{1}}{dy_{1}}}$ s’annule pour $y_{1}=y_{1}^{0}$ et pour

$y_{1}=y_{1}^{0}+2\pi$

et comme cette dérivée entre en facteur dans le premier membre des équations (4), il pourrait se faire que

${\frac {d\mathrm {S} _{2}}{dy_{1}}},\quad {\frac {d\mathrm {S} _{3}}{dy_{1}}},\quad \ldots$

devinssent infinis pour $y_{1}=y_{1}^{0}+2k\pi ,$ et c’est ce qui arriverait en effet si les constantes $\mathrm {C} _{1},\,\ldots$ n’étaient pas convenablement choisies.

Mais il est possible de faire ce choix de telle façon que les fonctions ${\frac {d\mathrm {S} _{p}}{dy_{1}}}$ restent toujours finies.

Pour le démontrer considérons l’équation

$\mathrm {F} \left({\frac {d\mathrm {S} }{dy_{1}}},y_{1}\right)=\mathrm {C} ,$

que je puis écrire

$\mathrm {F} (x_{1},y_{1})=\mathrm {C} .$