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CHAPITRE XIX.

Cette équation, en regardant $x_{1}$ et $y_{1}$ comme les coordonnées d’un point, représente une courbe. Écrivons que cette courbe a un point double ; il viendra

${\frac {d\mathrm {F} }{dx_{1}}}={\frac {d\mathrm {F} }{dy_{1}}}=0,$

ce que je puis écrire encore

(5)

$\left\{{\begin{aligned}{\frac {d\mathrm {F} _{0}}{dx_{1}}}+\mu \,{\frac {d\mathrm {F} _{1}}{dx_{1}}}+\mu ^{2}{\frac {d\mathrm {F} _{2}}{dx_{1}}}+\ldots =0,\\[0.75ex]{\frac {d\mathrm {F} _{1}}{dy_{1}}}+\mu \,{\frac {d\mathrm {F} _{2}}{dy_{1}}}+\mu ^{2}{\frac {d\mathrm {F} _{3}}{dy_{1}}}+\ldots =0,\end{aligned}}\right.$

puisque $\mathrm {F} _{0}$ ne dépend pas de $y_{1}.$

Résolvons ces équations (5) par rapport à $x_{1}$ et à $y_{1}.$ Pour $\mu =0$ on trouvera

${\begin{aligned}x_{1}&=x_{1}^{0},&y_{1}&=y_{1}^{0}.\end{aligned}}$

Le déterminant fonctionnel des équations (5) pour $\mu =0,$ $x_{1}=x_{1}^{0},$ $y_{1}=y_{1}^{0}$ s’écrit

${\frac {d^{2}\mathrm {F} _{0}}{dx_{1}^{2}}}{\frac {d^{2}\mathrm {F} _{1}}{dy_{1}^{2}}}$

et, en général, il n’est pas nul. On pourra donc résoudre les équations (5) et l’on trouvera que $x_{1}$ et $y_{1}$ sont développables suivant les puissances de $\mu .$ Soient alors

$x_{1}=\alpha ,\qquad y_{1}=\beta ,$

les développements ainsi obtenus ; l’expression

$\mathrm {F} (\alpha ,\beta )$

est évidemment développable suivant les puissances de $\mu .$ Soit alors

(6)

$\mathrm {F} (\alpha ,\beta )=\mathrm {C} _{0}+\mathrm {C} _{2}\mu +\mathrm {C} _{4}\mu ^{2}+\ldots$

ce développement. Je dis que, si l’on donne dans les équations (4) aux constantes $\mathrm {C} _{2p}$ les valeurs tirées du développement (6), les fonctions ${\frac {d\mathrm {S} _{p}}{dy_{1}}}$ resteront finies.