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MÉTHODES DE M. BOHLIN.
Pour nous en rendre compte, posons
![{\displaystyle {\begin{aligned}x_{1}&=\alpha +x',&y_{1}&=\beta +y',\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fa4d8a48683302ca43e78e26b24292f53ca8476b)
![{\displaystyle \mathrm {F} (x_{1},y_{1})=\mathrm {F} (\alpha ,\beta )+\mathrm {F} '}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/119235eedbe3c8314a4781e17c0ea7b919773278)
et envisageons l’équation
![{\displaystyle \mathrm {F} '(x',y')=0\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5b54f3f7dd9c87a2650b0deab7f0e0ac244705a7)
elle est de même forme que l’équation (2) ; nous pouvons donc la
traiter de la même manière, c’est-à-dire poser
![{\displaystyle x'={\frac {d\mathrm {S} _{0}'}{dy'}}+{\sqrt {\mu }}\,{\frac {d\mathrm {S} _{1}'}{dy'}}+\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ac7eb485402ad5b31d612ec9a0ee3415ec4268f2)
et déterminer les fonctions
par des équations (4 bis) analogues
aux équations (4), et qui n’en différeront que parce que les lettres
seront accentuées ; seulement les constantes
seront toutes
nulles, et pour
![{\displaystyle x'=y'=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/077a29848fb4531767c6c4c33343822e5e5bd93e)
on aura
![{\displaystyle \mathrm {F} '={\frac {d\mathrm {F} '}{dx'}}={\frac {d\mathrm {F} '}{dy'}}=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/32c8d73e4554916966293f4582b24e76625d50d0)
Donc, si l’on regarde
comme développé suivant les puissances
de
et
le développement commencera par des termes du
second degré en
et
et cela quel que soit
Le développement
de
commencera donc aussi par des termes
du second degré. Il résulte de là que, si l’on considère les
fonctions
qui figurent dans le second membre des équations
(4 bis) comme développées dans le voisinage de
0, suivant
les puissances de
et des
le développement commencera
toujours par des termes du second degré.
On voit d’abord que
s’annule pour
on pourrait donc
craindre que
ne devienne infini pour
mais, loin de là, je
dis que, pour cette valeur de
est nul.