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CHAPITRE XIX.

en égalant le second membre de (2) à

$\mathrm {C} =\mathrm {C} _{0}+\mathrm {C} _{1}\mu +\mathrm {C} _{2}\mu ^{2}+\ldots .$

Si

$m_{1}n_{1}^{0}+m_{2}n_{2}^{0}+\ldots +m_{n}n_{n}^{0}\gtrless 0,$

$\mathrm {S}$ est développable suivant les puissances de $\mu$ et si, au contraire,

$m_{1}n_{1}^{0}+m_{2}n_{2}^{0}+\ldots +m_{n}n_{n}^{0}=0,$

$\mathrm {S}$ est développable suivant les puissances de ${\sqrt {\mu }}.$

Supposons en particulier que, donnant à $n_{1}^{0},$ $n_{2}^{0},$ $\ldots ,\,n_{n}^{0}$ des valeurs quelconques, on choisisse les constantes $\mathrm {C} _{p}$ de telle façon que

$\mathrm {S} -n_{1}^{0}y_{1}-n_{2}^{0}y_{2}-\ldots -n_{n}^{0}y_{n}$

soit une fonction périodique des $y\,;$ on retombera sur un développement qui correspondra à celui que nous avons au début du numéro précédent déduit des équations (1) de ce numéro.

Dans ce développement, diverses puissances de

$m_{1}n_{1}^{0}+m_{2}n_{2}^{0}+\ldots +m_{n}n_{n}^{0},$

entreront au dénominateur.

Remplaçons ensuite les constantes d’intégration $n_{i}^{0}$ par divers développements procédant suivant les puissances de ${\sqrt {\mu }}.$

Soit, par exemple,

$n_{i}^{0}=\alpha _{i}^{0}+{\sqrt {\mu }}\,\alpha _{i}^{1}+\mu \,\alpha _{i}^{2}+\ldots .$

Je suppose que

$m_{1}\alpha _{1}^{0}+m_{2}\alpha _{2}^{0}+\ldots +m_{n}\alpha _{n}^{0}=0.$

Il en résultera que le développement de

$m_{1}n_{1}^{0}+m_{2}n_{2}^{0}+\ldots +m_{n}n_{n}^{0}$

commencera par un terme en ${\sqrt {\mu }}.$

Si nous ordonnons ensuite les termes de $\mathrm {S}$ suivant les puissances positives et croissantes de ${\sqrt {\mu }},$ on obtiendra divers développements analogues à ceux que nous avons étudiés en détail dans le n^o 201.