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MÉTHODES DE MM. NEWCOMB ET LINDSTEDT.
ces séries ; voyons quelle est la forme des
et des
Pour
se réduit à
![{\displaystyle \mathrm {S} _{0}=x_{1}^{0}y_{1}+x_{2}^{0}y_{2}+\dots +x_{n}^{0}y_{n},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/448c85add8535fc06feab97ecbd07b18f6a1cca9)
et il vient par conséquent
![{\displaystyle x_{i}=x_{i}^{0},\qquad y_{i}=w_{i}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9360eca77fd0284e5d5c9aeac41aff64d68709cb)
Ainsi le premier terme du développement de
est une constante
et le premier terme du développement de
(c’est-à-dire
) se
réduit à
![{\displaystyle w_{i}=n_{i}t+\varpi _{i}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9c3c84d3eb37cc81f28a14bda8e7d50f0ec4fcc8)
Si, au lieu de tirer les
et les
des équations (8), nous les
avions tirées des équations (7), les
premiers termes auraient
été les mêmes, puisque la différence
est de l’ordre de ![{\displaystyle \mu ^{p+1}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/68271d08fdde676ea8f2581373a3dd102750f039)
Pour déterminer les quantités
![{\displaystyle x_{i}^{k},\quad y_{i}^{k}\quad (i=1,\,2,\,\dots ,\,n\,;\;k=0,\,1,\,2,\,\dots ,\,p),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/00c99f6eab75c7e728b998ac58b9f72c78f1267a)
envisageons donc les équations (7) que nous écrirons sous la
forme suivante
(7 bis)
|
|
|
Nous pouvons tirer des équations (7 bis) les
et les
en séries
ordonnées suivant les puissances de
et convergentes si
est
assez petit ; il nous suffit pour cela d’appliquer le théorème du
no 30,
puisque
représente une fonction complètement
définie et n’est pas une simple expression formelle.
Nous avons supposé que les quantités
sont nulles ; il en
résultera que les
et par conséquent
sont des
fonctions périodiques de période
par rapport aux
Si donc dans les équations (7 bis) on change
en
et
en
(
étant des entiers), ces équations
ne changeront pas. Donc les valeurs de
et de
tirées de ces équations sont périodiques, de période
par rapport aux
Donc dans les séries (2) les quantités
et
sont des fonctions
périodiques de période
par rapport aux