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MÉTHODES DE M. BOHLIN.

2^o L’expression

$u_{1}\,dv_{1}+x_{2}'\,dz_{2}+x_{3}'\,dz_{3}+\ldots +x_{n}'\,dz_{n}=d\mathrm {V}$

est une différentielle exacte.

3^o Ces $n$ fonctions sont périodiques de période $2\pi$ par rapport à

$v_{1},\quad z_{2},\quad z_{3},\quad \ldots ,\quad z_{n}.$

Considérons donc $u_{1}$ et les $x_{i}'$ comme fonctions de $v_{1}$ et des $z_{i},$ ce qui nous donne $n$ relations entre ces $2n$ variables, puis revenons aux variables anciennes $x_{i}$ et $y_{i}$ à l’aide des équations (16), (16 bis) et (18) ; nous obtiendrons ainsi $n$ relations entre les $x_{i}$ et les $y_{i}\,;$ en résolvant ces relations par rapport aux $x_{i},$ nous aurons les $x_{i}$ en fonctions des $y_{i},$ et il est clair que :

1^o Si l’on substitue dans $\mathrm {F}$ à la place des $x_{i}$ leurs valeurs en fonctions des $y_{i},$ $\mathrm {F}$ se réduit à une constante.

2^o L’expression

(20)

${\textstyle \sum }\,x_{i}\,dy_{i}=d\mathrm {S}$

est une différentielle exacte.

Car, d’après la forme des équations (16), (16 bis) et (18), la différence

$d\mathrm {S} -{\sqrt {\mu }}\,d\mathrm {V}$

est toujours une différentielle exacte.

3^o Si l’on exprime les $x_{i}$ en fonctions de $v_{1}$ et des $z_{i},$ les $x_{i}$ sont des fonctions périodiques de ces variables ; et, de même, si l’on exprime les $x_{i}$ en fonctions des $y_{i},$ ces fonctions seront périodiques de période $2\pi$ par rapport à $y_{2},$ $y_{3},$ $\ldots ,\,y_{n}.$

Il résulte de là que les fonctions $\mathrm {S}$ définies par l’équation (20) ne diffèrent pas de celles dont nous nous sommes occupés au numéro précédent, puisque nous n’avons fait intervenir dans leur définition que l’équation (2) du n^o 204 et la condition que les ${\frac {d\mathrm {S} }{dy_{i}}}$ soient périodiques par rapport à $y_{2},$ $y_{3},$ $\ldots ,\,y_{n}.$

Ainsi les deux systèmes d’équations

(21)

$\;\left\{{\begin{aligned}u_{1}&={\frac {d\mathrm {V} }{dv_{1}}},&x_{1}'&={\frac {d\mathrm {V} }{dz_{i}}},\qquad u_{1}=\int {\frac {\mathrm {P} \,dx_{1}'}{2\pi }},\qquad v_{1}={\frac {2\pi z_{1}}{\mathrm {P} }},\\x_{k}&={\frac {d\mathrm {T} }{dy_{k}}},&z_{k}&={\frac {d\mathrm {T} _{1}}{dx_{k}'}}\;\;(i=2,\,3,\,\ldots ,\,n),\;\;(k=1,\,2,\,\ldots ,\,n)\end{aligned}}\right.$