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MÉTHODES DE M. BOHLIN.

 Les corrections sont expliquées en page de discussion

ce qui nous donnera successivement

${\frac {\mathrm {U} _{1}}{\gamma }},\quad {\frac {\mathrm {U} _{2}}{\gamma ^{3}}},\quad \ldots .$

On aura alors

$\mathrm {U} ={\frac {\mathrm {U} _{1}}{\gamma }}+{\frac {\mathrm {U} _{2}}{\gamma ^{3}}}+{\frac {\mathrm {U} _{3}}{\gamma ^{5}}}+\ldots .$

Si nous supposons maintenant que l’hypothèse (9) du n^o 204 soit satisfaite, nous devrons avoir

${\frac {\xi _{1}}{m_{1}}}={\frac {\xi _{2}}{m_{2}}}=\ldots ={\frac {\xi _{n}}{m_{n}}}\cdot$

En combinant ces relations avec (5) et avec (7), on peut écrire

$\xi _{i}=m_{i}\mathrm {A} \gamma ,$

$\mathrm {A}$ étant un coefficient facile à calculer, dépendant des entiers $m_{i}$ et des dérivées ${\frac {dx_{i}^{0}}{dn_{k}^{0}}}\cdot$

On en tire

(9)

${\frac {d\mathrm {S} _{1}'}{dy_{1}}}=m_{1}\mathrm {A} \gamma +{\frac {1}{\gamma }}\,{\frac {d\mathrm {U} _{1}}{dy_{1}}}+{\frac {1}{\gamma ^{3}}}\,{\frac {d\mathrm {U} _{2}}{dy_{1}}}+\ldots ,$

et l’on en conclut que le carré du second membre de l’équation (9), qui doit comme ce second membre lui-même procéder suivant les puissances décroissantes de $\gamma ,$ se réduira à ses deux premiers termes

$m_{1}^{2}\mathrm {A} ^{2}\gamma ^{2}+2m_{1}\mathrm {A} {\frac {d\mathrm {U} _{1}}{dy_{1}}}\cdot$

Il en résulte une série d’identités

${\begin{aligned}2m_{1}\mathrm {A} {\frac {d\mathrm {U} _{2}}{dy_{1}}}+\left({\frac {d\mathrm {U} _{1}}{dy_{1}}}\right)^{2}&=0,\\2m_{1}\mathrm {A} {\frac {d\mathrm {U} _{3}}{dy_{1}}}+2{\frac {d\mathrm {U} _{1}}{dy_{1}}}{\frac {d\mathrm {U} _{2}}{dy_{2}}}&=0,\\\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots &\ldots .,\end{aligned}}$

qui, indépendamment même des applications en vue desquelles ce Chapitre est écrit, sont des propriétés curieuses et inattendues du développement (1).