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CHAPITRE XIX.

par les $\alpha _{i}^{0},$ puisque, pour $\mu =0,$ le développement (2) de $n_{i}^{0}$ se réduit à son premier terme, c’est-à-dire à $\alpha _{i}^{0}.$

On trouvera d’autre part

$\mathrm {S} _{1}=\xi _{1}y_{1}+\xi _{2}y_{2}+\ldots +\xi _{n}y_{n}+\mathrm {U} ,$

où

(5)

$\xi _{i}=\sum {\frac {dx_{i}^{0}}{dn_{k}^{0}}}\,\alpha _{k}^{1}.$

Les $x_{i}^{0}$ étant des fonctions connues des $n_{k}^{0},$ il en sera de même de leurs dérivées ${\frac {dx_{i}^{0}}{dn_{k}^{0}}}$ et l’on devra y remplacer les $n_{k}^{0}$ par les $\alpha _{k}^{0}.$

Quant à $\mathrm {U} ,$ il s’obtient de la manière suivante.

Prenons dans $\mathrm {S} _{p}^{\star }$ tous les termes de la forme (3) où le dénominateur $\mathrm {P}$ contiendra le petit diviseur

$m_{1}n_{1}^{0}+m_{2}n_{2}^{0}+\ldots +m_{n}n_{n}^{0}$

à la puissance $2p-1.$

Remplaçons dans le numérateur $\mathrm {N}$ les $n_{k}^{0}$ par les $\alpha _{k}^{0}$ et dans le dénominateur remplaçons

(6)

$m_{1}n_{1}^{0}+m_{2}n_{2}^{0}+\ldots +m_{n}n_{n}^{0}$

par

(7)

$m_{1}\alpha _{1}^{1}+m_{2}\alpha _{2}^{1}+\ldots +m_{n}\alpha _{n}^{1}=\gamma \,;$

ce terme deviendra

(8)

${\frac {\mathrm {N} _{0}}{\gamma ^{2p-1}}}{\begin{array}{l}\cos \\\sin \end{array}}\left(p_{1}y_{1}+p_{2}y_{2}+\ldots +p_{n}y_{n}\right),$

où $\mathrm {N} _{0}$ est ce que devient $\mathrm {N}$ quand on y remplace les $n_{i}^{0}$ par les $\alpha _{i}^{0}.$

Opérons de même pour tous les termes de $\mathrm {S} _{p}^{\star }$ qui contiennent le petit diviseur (6) à la puissance $2p-1$ et soit

${\frac {\mathrm {U} _{p}}{\gamma ^{2p-1}}}$

la somme de tous les termes de la forme (8) ainsi obtenus.

Opérons encore de même sur toutes les fonctions $\mathrm {S} _{1}^{\star },$ $\mathrm {S} _{2}^{\star },\,\ldots ,$