417
SÉRIES DE M. BOHLIN.
Supposons donc que la fonction ne satisfasse pas à ces conditions.
Soient et les anciennes variables, faisons le changement
de variables du no 210 et soient et les nouvelles
variables. On aura
(1)
|
|
|
(Cf. p. 381.)
Avec les nouvelles variables, les conclusions des deux derniers
numéros sont applicables et, par conséquent,
peuvent se représenter par des séries ordonnées suivant les puissances
de et des cosinus et sinus des multiples de
et dont les coefficients sont des fonctions uniformes de ces
fonctions uniformes sont développables suivant les puissances
de si est négatif et suffisamment grand et suivant celles
de si est suffisamment grand.
Des relations (1) qui lient les et aux et il est donc
permis de conclure que
sont encore développables en séries de la même forme.
La seule différence, c’est que pour et se
réduisent à 0 ; tandis que et ne s’annulent pas.
Quand on fait d’où on trouve
(2)
|
|
|
et représentant des séries ordonnées suivant les puissances
de et les lignes trigonométriques des multiples de