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SÉRIES DE M. BOHLIN.
nous pourrons développer suivant les puissances croissantes de
et nous obtiendrons les séries du no 127 ; si, au contraire, est
comparable à nous poserons et nous retomberons sur
les séries étudiées dans le présent Chapitre.
Voyons la chose d’un peu plus près. Les équations (1) prouvent
que et sont des fonctions doublement périodiques
de ou ce qui revient au même de Soient et les deux
périodes (en considérant comme la variable indépendante).
Par exemple, sera égale à l’intégrale du second membre prise
entre et et sera égale à deux fois cette intégrale prise
entre De plus, quand augmente de ne change
pas et quand augmente de augmente de
Si est réel, et on doit prendre Alors et
sont des fonctions périodiques de de période Si
est petit par rapport à on peut développer suivant les puissances
de (ce qui conduit aux séries du no 127) et chacun des
termes sera périodique de période par rapport à
Mais si est du même ordre de grandeur que et que l’on
pose il arrive que, pour une même valeur de la
période et le coefficient sont proportionnels à si alors
nous posons
les équations (1) deviennent
(1 bis)
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La seconde de ces équations ne dépend plus de Nous tirerons
de là et en séries développées suivant les sinus et les
cosinus des multiples de dépendant de mais indépendantes
de Ce sont les séries du présent Chapitre.
Les séries obtenues d’abord, développées suivant les puissances