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CHAPITRE XX.

de $\mu$ et analogues à celles du n^o 127, étaient, comme il est aisé de le voir, de la forme suivante

(2)

$\left\{{\begin{aligned}x&={\sqrt {\mathrm {C} }}+\mu \,\mathrm {C} ^{-{\frac {1}{2}}}\varphi _{1}+\mu ^{2}\mathrm {C} ^{-{\frac {3}{2}}}\varphi _{2}+\mu ^{3}\mathrm {C} ^{-{\frac {5}{2}}}\varphi _{3}+\ldots ,\\y&=w+{\frac {\mu }{\mathrm {C} }}\,\psi _{1}+\left({\frac {\mu }{\mathrm {C} }}\right)^{2}\psi _{2}+\ldots .\end{aligned}}\right.$

les $\varphi$ et les $\psi$ ne dépendant ni de $\mu ,$ ni de $\mathrm {C}$ et étant périodiques de période $2\pi$ par rapport à $w.$

Si l’on fait ensuite $\mathrm {C} =\mathrm {C} _{1}\mu ,$ $y$ et ${\frac {x}{\sqrt {\mu }}},$ comme je l’avais annoncé, ne dépendent plus que de $\mathrm {C} _{1}$ et non plus de $\mu .$

Ainsi, pour passer des séries du n^o 127 à celles de ce Chapitre, on fera $\mathrm {C} =\mathrm {C} _{1}\mu ,$ et on ordonnera ensuite de nouveau suivant les puissances croissantes de $\mu .$ Dans le cas particulier qui nous occupe, les nouveaux développements ainsi obtenus se réduisent à un seul terme, puisque $x$ ne contient que des termes en ${\sqrt {\mu }}$ et $y$ des termes indépendants de $\mu .$

Tant que $\mathrm {C} _{1}$ est plus grand que 1, $\omega _{1}$ est réel, $x$ et $y-w$ sont périodiques de période $2\pi$ par rapport à $w.$ Mais, si $\mathrm {C} _{1}$ est plus petit que 1, $\omega _{1}$ devient imaginaire et c’est $\omega _{2}$ qui est réel ; il faut donc prendre $\theta ={\frac {\omega _{2}}{2\pi }}\,;$ alors $x$ et $y$ (et non plus $y-w$) sont périodiques de période $2\pi$ par rapport à $w.$

Si nous considérons $w$ comme la variable indépendante, il y a donc une discontinuité qui tient à ce que la définition de $\theta$ change quand $\mathrm {C} _{1}$ passe d’une valeur plus grande que 1 à une valeur plus petite que 1. Cet inconvénient sera évité si l’on prend $\theta w{\sqrt {\mu }}$ pour variable indépendante.

Et en effet, si l’on exprime $x$ et $y$ en fonctions de $\theta w{\sqrt {\mu }}$ et de $\mathrm {C} _{1},$ les expressions que l’on obtient pour $\mathrm {C} _{1}<1$ sont la continuation analytique de celles que l’on obtient pour $\mathrm {C} _{1}>1.$

Partant donc des séries (2), c’est-à-dire des séries du n^o 127 et y faisant $\mathrm {C} =\mathrm {C} _{1}\mu ,$ il vient

(2 bis)

$\left\{{\begin{aligned}{\frac {x}{\sqrt {\mu }}}&=\mathrm {C} _{1}^{\frac {1}{2}}+\mathrm {C} _{1}^{-{\frac {1}{2}}}\varphi _{1}+\mathrm {C} _{1}^{-{\frac {3}{2}}}\varphi _{2}+\ldots ,\\y&=w+{\frac {1}{\mathrm {C} _{1}}}\,\psi _{1}+{\frac {1}{\mathrm {C} _{1}^{2}}}\,\psi _{2}+\ldots .\end{aligned}}\right.$