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CHAPITRE XXI.
étant une fonction des
que l’on peut regarder comme donnée
et qui est périodique.
Cela nous donne
![{\displaystyle 2{\textstyle \sum }\,\mathrm {A} _{i}\,{\frac {d\mathrm {V} _{q-2}}{d\omega _{i}}}=\gamma +\psi (\omega _{i}),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4a7aababf44214a12f812d4a751dea2e50a06adc)
équation qui détermine
après quoi on tirera facilement
de l’équation (14).
C’est là le cas ordinaire.
Mais il peut se faire que
et
soient choisis de telle sorte
que
puisse s’annuler. Dans ce cas c’est la seconde période de
notre intégrale elliptique qui est réelle. En égalant cette seconde
période à une constante donnée
on obtiendra une équation (15 bis)
analogue à (15). Si l’on résout par rapport à
il
viendra
![{\displaystyle \mathrm {X} =\gamma +\psi '(\omega _{i})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d35655bf21ea7b6408de22d67894c624e5b85ee1)
ou
![{\displaystyle 2{\textstyle \sum }\,\mathrm {A} _{i}\,{\frac {d\mathrm {V} _{q-2}}{d\omega _{i}}}=\gamma +\psi '(\omega _{i}),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9397bbac8a50a59926537cb6751bfc235b1e0098)
qui déterminera
puisque
est connue et périodique.
C’est là le cas de la libration.
On obtiendra le cas limite en écrivant que l’une des périodes
de l’intégrale elliptique de première espèce correspondante est
infinie, ce qui donne pour déterminer
l’équation suivante
![{\displaystyle 2{\textstyle \sum }\,\mathrm {A} _{i}\,{\frac {d\mathrm {V} _{q-2}}{d\omega _{i}}}=\mathrm {L} \gamma _{q}-\mathrm {L} _{q}+{\sqrt {\mathrm {M} _{q}^{2}+\mathrm {N} _{q}^{2}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/07d80a08bad272a44adfe188e5875585b6e57b2b)
L’inconvénient de cette façon d’opérer, c’est que les expressions
obtenues dans les deux cas ne sont pas la continuation analytique
l’une de l’autre.
Égalons maintenant les coefficients de
il viendra
(16)
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étant connu et périodique.