Page:Henri Poincaré - Les méthodes nouvelles de la mécanique céleste, Tome 2, 1893.djvu/463

449

EXTENSION DE LA MÉTHODE DE M. BOHLIN.

On poursuivra le calcul comme plus haut jusqu’à ce qu’on arrive à l’équation obtenue en égalant les coefficients de $\varepsilon ^{q}.$ On aura alors

$\mathrm {U} _{i}=0\quad \left(i=1,\,2,\,3,\,\ldots ,\,{\frac {q}{2}}-1\right)$

et, si $q$ est pair, l’équation en $\varepsilon ^{q}$ pourra s’écrire

(14)

$\;\mathrm {A} \left({\frac {d\mathrm {U} _{\frac {q}{2}}}{dy_{1}}}\right)^{2}\!+2{\textstyle \sum }\,\mathrm {A} _{i}\,{\frac {d\mathrm {V} _{q-2}}{d\omega _{i}}}+\mathrm {L} _{q}+\mathrm {M} _{q}\cos y_{1}+\mathrm {N} _{q}\sin y_{1}=\gamma _{q}.$

Si nous posons, pour abréger,

$2{\textstyle \sum }\,\mathrm {A} _{i}\,{\frac {d\mathrm {V} _{q-2}}{d\omega _{i}}}=\mathrm {X}$

et si nous supprimons pour un instant l’indice ${\frac {q}{2}}$ de $\mathrm {U}$ et les indices $q$ de $\mathrm {L} ,$ $\mathrm {M} ,$ $\mathrm {N}$ et $\gamma ,$ il viendra

${\frac {d\mathrm {U} _{\frac {q}{2}}}{dy_{1}}}={\sqrt {\frac {\gamma -\mathrm {L} -\mathrm {X} -\mathrm {M} \cos y_{1}-\mathrm {N} \sin y_{1}}{\mathrm {A} }}}={\sqrt {\mathrm {Z} }}$

en appelant $\mathrm {Z} ,$ pour abréger, la quantité sous le radical.

L’intégrale

$\int {\sqrt {\mathrm {Z} }}\,dy_{1}$

est une intégrale elliptique de deuxième espèce. L’une de ses périodes est

$\int _{0}^{2\pi }{\sqrt {\mathrm {Z} }}\,dy_{1}.$

Si $\gamma$ et $\mathrm {X}$ sont choisis de façon que $\mathrm {Z}$ soit toujours positif, cette période est toujours réelle ; nous voulons qu’elle soit constante et indépendante des $\omega _{i}.$ J’égale donc cette période à une constante donnée $h$ et j’obtiens une équation

(15)

$\int _{0}^{2\pi }{\sqrt {\mathrm {Z} }}\,dy_{1}=h.$

En résolvant cette équation par rapport à $\mathrm {X} ,$ il vient

$\mathrm {X} =\gamma +\psi (\omega _{i}),$