Page:Henri Poincaré - Les méthodes nouvelles de la mécanique céleste, Tome 2, 1893.djvu/47

33

MÉTHODES DE MM. NEWCOMB ET LINDSTEDT.

Si donc $n$ est incommensurable, il n’y a entre $n_{1}^{0}$ et $n_{2}^{0}$ aucune relation linéaire à coefficients entiers, et la méthode est applicable.

Elle serait applicable également au cas général du Problème des trois Corps, si ces trois corps se mouvaient dans un plan et s’attiraient suivant toute autre loi que la loi de Newton, mais elle cesse de l’être (à moins de modifications importantes qui feront l’objet des numéros suivants) si la loi d’attraction est la loi newtonienne.

En effet, dans ce cas (et en reprenant les notations du n^o 125), $\mathrm {F} _{0}$ ne contient plus $x_{3},$ et par conséquent $n_{3}^{0}$ est nul ; il en résulte qu’il y a, entre les $n_{i}^{0},$ une relation linéaire à coefficients entiers, à savoir

$n_{3}^{0}=0.$

Le calcul direct tel qu’il a été exposé dans ce numéro se rapproche beaucoup plus de la méthode originale de M. Lindstedt. Il présente un avantage important sur les procédés indirects des deux numéros précédents, puisqu’il nous donne immédiatement les valeurs des des $x_{i}$ et des $y_{i}$ en fonctions des $w,$ et, par conséquent, du temps, et se prête ainsi au calcul des éphémérides. Mais ces procédés indirects nous étaient nécessaires ; car, sans eux, je n’aurais pu démontrer la légitimité du calcul direct (qui ne peut s’achever que si la valeur moyenne de $\mathrm {X} _{i}^{0}+\mathrm {Z} _{i}^{p}$ est nulle), ou du moins je n’aurais pu le faire sans employer les invariants intégraux dont je ne parlerai que dans un Chapitre ultérieur.

À un autre point de vue, la connaissance de ces procédés indirects ne nous sera pas non plus inutile. Nous avons vu, en effet, dans l’Introduction, qu’on peut quelquefois employer avec avantage une intégrale ou une relation invariante (pour parler le langage des n^os 1 et 19) au lieu d’une solution. D’ailleurs le calcul de la fonction $\mathrm {S}$ peut servir de vérification au calcul direct.

128.On peut choisir la constante $\mathrm {K} _{i}^{p},$ définie plus haut, de telle façon que $[\mathrm {Y} _{i}^{p}+\mathrm {T} _{i}^{p}],$ c’est-à-dire la valeur moyenne de $\mathrm {Y} _{i}^{p}+\mathrm {T} _{i}^{p},$ soit nulle, et, par conséquent, que

$n_{i}^{p}=0,\qquad n_{i}=n_{i}^{0}.$

En effet, nous avons

$\mathrm {Y} _{i}^{p}=-{\frac {d^{2}\mathrm {F} _{0}}{dx_{i}\,dx_{1}}}x_{1}^{p}-{\frac {d^{2}\mathrm {F} _{0}}{dx_{i}\,dx_{2}}}x_{2}^{p}-\dots -{\frac {d^{2}\mathrm {F} _{0}}{dx_{i}\,dx_{n}}}x_{n}^{p}+\mathrm {U} _{i}^{p},$