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CHAPITRE IX.

Il est clair que nous pouvons choisir $x_{1}$ de façon que le rapport ${\tfrac {n_{1}^{0}}{n_{2}^{0}}}$ ait telle valeur que nous voulons.

C’est ce qui arrive également avec l’équation suivante, qui s’introduit dans l’application des méthodes de M. Gyldén, et qui a fait l’objet des études particulières de M. Lindstedt,

(16)

${\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}+n^{2}y=\mu \,\varphi '(y,x),$

où $\varphi '$ est une fonction développée suivant les puissances de $y$ et périodique en $x.$

J’observe d’abord que $\varphi '$ peut toujours être regardée comme la dérivée prise par rapport à $y$ d’une fonction $\varphi$ de même forme. Je puis alors comme nous l’avons vu au n^o 2, remplacer l’équation précédente par les suivantes :

$-\mathrm {F} ={\frac {q^{2}}{2}}+{\frac {n^{2}y^{2}}{2}}-\mu \,\varphi (y,x)+p,$

${\begin{aligned}{\frac {dx}{dt}}&=-{\frac {d\mathrm {F} }{dp}}=1,&{\frac {dy}{dt}}&=-{\frac {d\mathrm {F} }{dq}}=q,&{\frac {dp}{dt}}&=-{\frac {d\mathrm {F} }{dx}},\end{aligned}}$

${\frac {dq}{dt}}={\frac {d\mathrm {F} }{dy}}=-n^{2}y+\mu \,\varphi '(y,x).$

Posons ensuite

$y=\rho \sin y_{1},\quad q=n\rho \cos y_{1},\quad {\frac {n\rho ^{2}}{2}}=x_{1},\quad p=x_{2},\quad x=y_{2},$

nos équations deviendront

$-\mathrm {F} =nx_{1}+x_{2}-\mu \,\varphi \left({\sqrt {\frac {2x_{1}}{n}}}\sin y,\,y_{2}\right),$

${\begin{aligned}{\frac {dx_{1}}{dt}}&={\frac {d\mathrm {F} }{dy_{1}}},&{\frac {dx_{2}}{dt}}&={\frac {d\mathrm {F} }{dy_{2}}},&{\frac {dy_{1}}{dt}}&=-{\frac {d\mathrm {F} }{dx_{1}}},&{\frac {dy_{2}}{dt}}&=-{\frac {d\mathrm {F} }{dx_{2}}}\cdot \end{aligned}}$

La forme canonique des équations ne sera en effet pas altérée, en vertu du n^o 6.

Ici nous avons, en faisant $\mu =0,$

$\mathrm {F} _{0}=-nx_{1}-x_{2},$

d’où

${\begin{aligned}n_{1}^{0}&={\frac {d\mathrm {F} _{0}}{dx_{1}}}=-n,&n_{2}^{0}&={\frac {d\mathrm {F} _{0}}{dx_{2}}}=1.\end{aligned}}$