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CHAPITRE XXI.

Il n’y a presque rien à changer à ce qui précède dans le cas de $h<0,$ c’est-à-dire dans le cas de la libration. La seule différence est que la période réelle de l’intégrale $u,$ n’est plus

$u_{0}=\int _{0}^{2\pi }{\frac {dy}{\sqrt {\mathrm {R} }}},$

mais

$u_{1}=\int _{-\beta }^{+\beta }{\frac {dy}{\sqrt {\mathrm {R} }}},$

en appelant ${\sqrt {\mathrm {R} }}$ le radical ${\sqrt {h+\sin ^{2}{\frac {y}{2}}}}$ et posant

$\beta =2\operatorname {arc~sin} {\sqrt {-h}}.$

La quantité $\lambda$ doit alors être égale non plus à ${\frac {2\pi }{u_{0}}},$ mais à ${\frac {2\pi }{u_{1}}}\cdot$

226.Le cas limite où $h=0$ présente plus d’intérêt. Dans ce cas on a

$u=\int {\frac {dy}{\sin {\dfrac {y}{2}}}}=2\log \operatorname {tang} {\frac {y}{4}},$

et en posant

${\begin{array}{c}\operatorname {tang} {\dfrac {y}{4}}=t,\\du={\dfrac {2\,dt}{t}}\cdot \end{array}}$

Soit d’abord, par exemple,

$\varphi (y)=\sin y,$

il viendra

$\varphi (y)={\frac {4t(1-t^{2})}{(1+t^{2})^{2}}}\cdot$

d’où

$\psi =t^{-2\alpha }{\sqrt {\frac {\mu }{8}}}\int {\frac {4\,t^{2\alpha }(1-t^{2})\,dt}{(1+t^{2})^{2}}}\cdot$

Or, en intégrant par parties, on trouve

$\int {\frac {t^{2\alpha }(1-t^{2})\,dt}{(1+t^{2})^{2}}}={\frac {t^{2\alpha +1}}{1+t^{2}}}-2\alpha \int {\frac {t^{2\alpha }\,dt}{1+t^{2}}},$