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EXTENSION DE LA MÉTHODE DE M. BOHLIN.

d’où

(10)

$\psi =4{\sqrt {\frac {\mu }{8}}}\,{\frac {t}{1+t^{2}}}-it^{-2\alpha }\int {\frac {t^{2\alpha }\,dt}{1+t^{2}}}\cdot$

On pourrait se proposer de développer, au moins au point de vue formel, la fonction $\psi$ suivant les puissances de ${\sqrt {\mu }}\,;$ mais il vaut peut-être mieux pour cela revenir au cas général.

Quand $y$ varie de 0 à 2$\pi ,$ $u$ varie de $-\infty$ à $+\infty \,;$ $\varphi (y)$ est une fonction de $u\,;$ supposons qu’elle puisse être représentée par l’intégrale de Fourier sous la forme

$\varphi =\int _{-\infty }^{+\infty }e^{iqu}\theta (q)\,dq.$

Pour cela il suffit, puisque $\varphi (y)$ est pour toutes les valeurs réelles de $y$ analytique et périodique, il suffit, dis-je, que

$\varphi (0)=0.$

Nous trouverons alors

$\psi ={\sqrt {\frac {\mu }{8}}}\,e^{-\alpha u}\int du\int _{-\infty }^{+\infty }e^{(\alpha +iq)u}\theta (q)\,dq.$

Cette formule contient en réalité une constante arbitraire, puisque les limites de l’intégration par rapport à $u$ sont indéterminées ; je disposerai de cette constante de la manière suivante :

Intervertissons l’ordre des intégrations et effectuons l’intégration par rapport à $u,$ il viendra

$\psi ={\sqrt {\frac {\mu }{8}}}\,e^{-\alpha u}\int _{-\infty }^{+\infty }\left[{\frac {e^{(\alpha +iq)u}}{\alpha +iq}}\theta (q)+\eta (q)\theta (q)\right]dq,$

$\eta (q)$ étant une fonction arbitraire de $q$ introduite par l’intégration. On pourrait d’abord dans certains cas supposer cette fonction nulle, et il resterait

$\psi ={\sqrt {\frac {\mu }{8}}}\,e^{-\alpha u}\int _{-\infty }^{+\infty }{\frac {e^{(\alpha +iq)u}\theta (q)\,dq}{\alpha +iq}}$

ou bien

(11)

$\psi ={\frac {\mu }{i}}\int _{-\infty }^{+\infty }{\frac {e^{iqu}\theta (q)\,dq}{1+q{\sqrt {8\mu }}}}$